Simplificação das Raízes: Para tornar a análise física mais clara, é comum definir duas grandezas importantes:
  • O fator de amortecimento, \alpha=\frac{R}{2 L}.
  • A frequência angular natural não-amortecida, \omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{L C}}.
Reescreva as raízes \lambda que você encontrou no passo (b) em termos de \alpha e \omega_{0}.
O que você deve obter: Suas raízes devem agora ter uma forma mais compacta e elegante:
\lambda=-\alpha \pm \sqrt{\alpha^{2}-\omega_{0}^{2}}

Passo 1

Vamos relembrar o que fizemos no passo (b): encontramos as raízes da equação característica do circuito RLC como
\lambda = \frac{-R \pm \sqrt{R^{2} - \frac{4L}{C}}}{2L}\,.
Agora queremos reescrever essa expressão usando \alpha = \frac{R}{2L} e \omega_{0} = \frac{1}{\sqrt{L\,C}}.

Passo 2

Note que a parte externa ao radical já é \displaystyle\frac{-R}{2L} = -\alpha.

Passo 3

Dentro do radical temos
\frac{\sqrt{R^{2} - \frac{4L}{C}}}{2L} = \sqrt{\frac{R^{2}}{4L^{2}} \;-\;\frac{1}{L\,C}} = \sqrt{\alpha^{2} - \omega_{0}^{2}}.

Passo 4

Substituindo essas duas simplificações na fórmula original, obtemos
\lambda = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^{2} - \omega_{0}^{2}}.

Resposta

\lambda = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^{2} - \omega_{0}^{2}}.

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