Análise dos Regimes de Amortecimento: A natureza física do comportamento do circuito depende criticamente do sinal do termo dentro da raiz quadrada, o discriminante \left(\alpha^{2}-\omega_{0}^{2}\right). A solução geral para q(t) assume formas diferentes para cada caso. Analise detalhadamente os três casos possíveis a seguir.
  • Caso 1: Superamortecimento ( R^{2}>4 L / C ou \alpha^{2}>\omega_{0}^{2} )
Neste regime, o termo \alpha^{2}-\omega_{0}^{2} é positivo, resultando em duas raízes reais e distintas, \lambda_{1} e \lambda_{2}. A solução geral é uma soma de duas exponenciais decrescentes:
q(t)=A_{1} e^{\lambda_{1} t}+A_{2} e^{\lambda_{2} t}
O sistema retorna ao equilíbrio (descarga completa) sem oscilar.
  • Caso 2: Amortecimento Crítico ( R^{2}=4 L / C ou \alpha^{2}=\omega_{0}^{2} )
Neste caso especial, o discriminante é zero, resultando em uma única raiz real
repetida, \lambda=-\alpha. A teoria das equações diferenciais mostra que a solução geral é:
q(t)=\left(A_{1}+A_{2} t\right) e^{-\alpha t}
O sistema também retorna ao equilíbrio sem oscilar, mas o faz no tempo mais rápido possível.
  • Caso 3: Subamortecimento ( R^{2}<4 L / C ou \alpha^{2}<\omega_{0}^{2} )
Aqui, o discriminante é negativo. As raízes são complexas conjugadas. Definimos a frequência angular de amortecimento \omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\alpha^{2}}. As raízes se tornam \lambda=-\alpha \pm i \omega_{d}. A solução geral pode ser escrita na forma de uma oscilação com uma amplitude que decai exponencialmente:
q(t)=Q_{m} e^{-\alpha t} \cos \left(\omega_{d} t+\varphi\right)
O sistema oscila com uma frequência \omega_{d} enquanto sua energia é gradualmente dissipada.

Passo 1

O enunciado trata da equação diferencial homogênea do circuito RLC em série para a carga q(t):
\frac{d^{2}q}{dt^{2}} + 2\alpha \frac{dq}{dt} + \omega_{0}^{2}\,q = 0
com \alpha = \dfrac{R}{2L} e \omega_{0} = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}.
O comportamento do sistema depende do sinal do discriminante
\Delta = \alpha^{2}-\omega_{0}^{2}.
Vamos analisar os três casos: superamortecimento \Delta>0, amortecimento crítico \Delta=0 e subamortecimento \Delta<0.

Passo 2

Caso 1: Superamortecimento \alpha^{2}>\omega_{0}^{2}
Aqui \Delta>0 e as raízes da equação característica
\lambda^{2} + 2\alpha\lambda + \omega_{0}^{2} = 0
são reais e distintas:
\lambda_{1,2} = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^{2}-\omega_{0}^{2}}.
A solução geral é
q(t) = A_{1}\,e^{\lambda_{1}t} + A_{2}\,e^{\lambda_{2}t},
onde A_{1} e A_{2} vêm das condições iniciais.
Fisicamente, o circuito retorna ao equilíbrio sem oscilar, decaindo como soma de duas exponenciais.

Passo 3

Caso 2: Amortecimento Crítico \alpha^{2}=\omega_{0}^{2}
Agora \Delta=0 e há uma raiz dupla
\lambda = -\alpha.
Pela teoria de EDOs, a solução geral é
q(t) = \bigl(A_{1} + A_{2}\,t\bigr)\,e^{-\alpha t}.
Este regime atinge o repouso sem oscilações e no menor tempo possível (maior taxa de dissipação).

Passo 4

Caso 3: Subamortecimento \alpha^{2}<\omega_{0}^{2}
Aqui \Delta<0 e as raízes são complexas conjugadas:
\lambda = -\alpha \pm i\,\omega_{d},\quad \omega_{d} = \sqrt{\omega_{0}^{2}-\alpha^{2}}.
A forma real da solução é
q(t) = Q_{m}\,e^{-\alpha t}\cos\bigl(\omega_{d}t + \varphi\bigr),
com amplitude inicial Q_{m} e fase \varphi.
Neste caso o circuito oscila em \omega_{d} enquanto a amplitude decai exponencialmente.

Resposta

Em resumo:
(a) Superamortecido \alpha^{2}>\omega_{0}^{2}: duas exponenciais reais e decaimento sem oscilações.
(b) Criticamente amortecido \alpha^{2}=\omega_{0}^{2}: raiz dupla, solução (A_{1}+A_{2}t)e^{-\alpha t}, retorno mais rápido sem oscilar.
(c) Subamortecido \alpha^{2}<\omega_{0}^{2}: oscilação amortecida Q_{m}e^{-\alpha t}\cos(\omega_{d}t+\varphi).

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