Análise dos Regimes de Amortecimento: A natureza física do comportamento do circuito depende criticamente do sinal do termo dentro da raiz quadrada, o discriminante
. A solução geral para
assume formas diferentes para cada caso. Analise detalhadamente os três casos possíveis a seguir.
- Caso 1: Superamortecimento (
ou
)
Neste regime, o termo
é positivo, resultando em duas raízes reais e distintas,
e
. A solução geral é uma soma de duas exponenciais decrescentes:
O sistema retorna ao equilíbrio (descarga completa) sem oscilar.
- Caso 2: Amortecimento Crítico (
ou
)
Neste caso especial, o discriminante é zero, resultando em uma única raiz real
repetida,
. A teoria das equações diferenciais mostra que a solução geral é:
O sistema também retorna ao equilíbrio sem oscilar, mas o faz no tempo mais rápido possível.
- Caso 3: Subamortecimento (
ou
)
Aqui, o discriminante é negativo. As raízes são complexas conjugadas. Definimos a frequência angular de amortecimento
. As raízes se tornam
. A solução geral pode ser escrita na forma de uma oscilação com uma amplitude que decai exponencialmente:
O sistema oscila com uma frequência
enquanto sua energia é gradualmente dissipada.
repetida,
Passo 1
O enunciado trata da equação diferencial homogênea do circuito RLC em série para a carga
:
com
e
.
O comportamento do sistema depende do sinal do discriminante
O comportamento do sistema depende do sinal do discriminante
Vamos analisar os três casos: superamortecimento
, amortecimento crítico
e subamortecimento
.
Passo 2
Caso 1: Superamortecimento
Aqui e as raízes da equação característica
Aqui
são reais e distintas:
A solução geral é
onde
e
vêm das condições iniciais.
Fisicamente, o circuito retorna ao equilíbrio sem oscilar, decaindo como soma de duas exponenciais.
Fisicamente, o circuito retorna ao equilíbrio sem oscilar, decaindo como soma de duas exponenciais.
Passo 3
Caso 2: Amortecimento Crítico
Agora e há uma raiz dupla
Agora
Pela teoria de EDOs, a solução geral é
Este regime atinge o repouso sem oscilações e no menor tempo possível (maior taxa de dissipação).
Passo 4
Caso 3: Subamortecimento
Aqui e as raízes são complexas conjugadas:
Aqui
A forma real da solução é
com amplitude inicial
e fase
.
Neste caso o circuito oscila em enquanto a amplitude decai exponencialmente.
Neste caso o circuito oscila em
Resposta
Em resumo:
(a) Superamortecido : duas exponenciais reais e decaimento sem oscilações.
(b) Criticamente amortecido : raiz dupla, solução
, retorno mais rápido sem oscilar.
(c) Subamortecido : oscilação amortecida
.
(a) Superamortecido
(b) Criticamente amortecido
(c) Subamortecido