Simplificando a expressão \frac{x^{2}-6 x+9}{2 x-6}, obtemos:
a) \frac{x-3}{2}
b) \frac{x-3}{2 x}
c) \frac{x-3}{x+3}
d) \frac{x+3}{2}

Passo 1

O enunciado dá a expressão
\frac{x^{2}-6x+9}{2x-6}
e pede que a simplifiquemos, escolhendo entre as alternativas:
a) \dfrac{x-3}{2}
b) \dfrac{x-3}{2x}
c) \dfrac{x-3}{x+3}
d) \dfrac{x+3}{2}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Numerador: x^{2}-6x+9.
  • Denominador: 2x-6.
  • Observação importante: o valor x não pode tornar o denominador zero; isto é, x\neq 3 porque 2\cdot3-6=0.

Passo 2

Vamos fatorar o numerador. Lembra da fórmula do quadrado da diferença:
(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.
Aqui podemos identificar a=x e b=3, então
(x-3)^{2}=x^{2}-2\cdot x\cdot 3+3^{2}=x^{2}-6x+9.
Portanto o numerador fatorado é
x^{2}-6x+9=(x-3)^{2}.

Passo 3

Agora fatoramos o denominador por fator comum. No denominador 2x-6 existe o fator 2 em comum:
2x-6=2(x-3).

Passo 4

Substituindo as fatorações na fração original obtemos
\frac{x^{2}-6x+9}{2x-6}=\frac{(x-3)^{2}}{2(x-3)}.
Como (x-3) aparece tanto no numerador quanto no denominador, podemos simplificar (fazer a divisão) pelo fator comum (x-3), desde que esse fator não seja zero. Relembrando: essa simplificação é válida apenas para x\neq 3 (porque originalmente x=3 anulava o denominador). Ao cancelar um fator (x-3) obtemos a expressão simplificada
\frac{x-3}{2}.

Passo 5

Verificação rápida com um valor válido de x: tomemos x=5 (que é \neq 3).
  • Avaliando a expressão original:
\frac{5^{2}-6\cdot5+9}{2\cdot5-6}=\frac{25-30+9}{10-6}=\frac{4}{4}=1.
  • Avaliando a expressão simplificada:
\frac{5-3}{2}=\frac{2}{2}=1.
Os resultados coincidem para x=5, confirmando a simplificação (lembrando que em x=3 a expressão original é indefinida).

Resposta

a) \dfrac{x-3}{2}

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