Simplifique as frações algébricas:
.
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a fração algébrica
Informações dadas:
- O numerador é
. - O denominador é
.
Objetivo: escrever a fração numa forma mais simples, cancelando fatores comuns quando possível, e lembrar as restrições de domínio (valores deque tornam a expressão original indefinida).
Passo 2
Fatorar o numerador. Existe uma identidade muito útil chamada diferença de quadrados:
Aqui, podemos ver
como
. Aplicando a identidade com
e
, obtemos:
Explicação curta: a soma e a diferença aparecem porque
verifica-se multiplicando os fatores:
.
Passo 3
Fatorar o denominador. Para fatorar um trinômio quadrático
por inspeção, procura-se dois números que multiplicados dão
e somados dão
. No nosso caso
e
.
Procurando dois números e
tais que
Procurando dois números
vemos que
e
satisfazem. Assim
(Alternativa: poderia-se usar a fórmula quadrática para encontrar as raízes e escrever como produto de fatores lineares; aqui não é necessário porque os coeficientes são pequenos.)
Passo 4
Escrever a fração em termos dos fatores obtidos:
Agora aparece um fator comum
no numerador e no denominador. Quando um fator não é zero, é possível dividí-lo dos dois lados. Ou seja, se
(isto é,
), então podemos cancelar:
Passo 5
Importante sobre domínio e equivalência: a simplificação acima é válida para todos os
tais que o valor original está definido. A expressão original tem denominador zero quando
ou
, ou seja, quando
ou
. Portanto:
- A expressão original não está definida em
nem em . - A fração simplificada
coincide com a original para todo com e .
Para conferir rapidamente, teste num valor seguro como
:
Bingo — os valores coincidem para
.
Passo 6
Resumo final didático: fatorou-se numerador e denominador, cancelou-se o fator comum
lembrando de não dividir por zero, e obteve-se a forma mais simples da fração, com indicação das restrições de domínio.