Simplifique as frações algébricas:
\frac{\boldsymbol{x}^{2}-1}{\boldsymbol{x}^{2}+\mathbf{3} \boldsymbol{x}+\mathbf{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a fração algébrica
\frac{x^{2}-1}{x^{2}+3x+2}.
Informações dadas:
  • O numerador é x^{2}-1.
  • O denominador é x^{2}+3x+2.
    Objetivo: escrever a fração numa forma mais simples, cancelando fatores comuns quando possível, e lembrar as restrições de domínio (valores de x que tornam a expressão original indefinida).

Passo 2

Fatorar o numerador. Existe uma identidade muito útil chamada diferença de quadrados:
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aqui, podemos ver x^{2}-1 como x^{2}-1^{2}. Aplicando a identidade com a=x e b=1, obtemos:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Explicação curta: a soma e a diferença aparecem porque x^{2}-1=(x-1)(x+1) verifica-se multiplicando os fatores: (x-1)(x+1)=x^{2}+x-x-1=x^{2}-1.

Passo 3

Fatorar o denominador. Para fatorar um trinômio quadrático x^{2}+bx+c por inspeção, procura-se dois números que multiplicados dão c e somados dão b. No nosso caso b=3 e c=2.
Procurando dois números m e n tais que
m\cdot n=2\quad\text{e}\quad m+n=3,
vemos que m=1 e n=2 satisfazem. Assim
x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2).
(Alternativa: poderia-se usar a fórmula quadrática para encontrar as raízes e escrever como produto de fatores lineares; aqui não é necessário porque os coeficientes são pequenos.)

Passo 4

Escrever a fração em termos dos fatores obtidos:
\frac{x^{2}-1}{x^{2}+3x+2}=\frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)(x+2)}.
Agora aparece um fator comum (x+1) no numerador e no denominador. Quando um fator não é zero, é possível dividí-lo dos dois lados. Ou seja, se x+1\neq 0 (isto é, x\neq -1), então podemos cancelar:
\frac{(x-1)\cancel{(x+1)}}{\cancel{(x+1)}(x+2)}=\frac{x-1}{x+2}.

Passo 5

Importante sobre domínio e equivalência: a simplificação acima é válida para todos os x tais que o valor original está definido. A expressão original tem denominador zero quando x+1=0 ou x+2=0, ou seja, quando x=-1 ou x=-2. Portanto:
  • A expressão original não está definida em x=-1 nem em x=-2.
  • A fração simplificada \dfrac{x-1}{x+2} coincide com a original para todo x com x\neq -1 e x\neq -2.
Para conferir rapidamente, teste num valor seguro como x=0:
\text{Original: }\frac{0^{2}-1}{0^{2}+3\cdot0+2}=\frac{-1}{2}=\,-\tfrac{1}{2}.
\text{Simplificada: }\frac{0-1}{0+2}=\frac{-1}{2}=\,-\tfrac{1}{2}.
Bingo — os valores coincidem para x=0.

Passo 6

Resumo final didático: fatorou-se numerador e denominador, cancelou-se o fator comum (x+1) lembrando de não dividir por zero, e obteve-se a forma mais simples da fração, com indicação das restrições de domínio.

Resposta

\dfrac{x-1}{x+2},\quad x\neq -1,\\\ -2

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