Simplificar e calcule o valor das expressões:
\frac{(n+1)!}{(n-1)!}, \operatorname{com} n \geq 1

Passo 1

O enunciado pede para simplificar e calcular o valor da expressão
\frac{(n+1)!}{(n-1)!},
com a condição n\geq 1.
Informações dadas: a expressão que envolve fatoriais e o domínio do parâmetro n.

Passo 2

Vamos lembrar o que é fatorial. Para um inteiro k\geq 1 definimos
k! = k\cdot (k-1)\cdot (k-2)\cdots 2\cdot 1,
e por convenção
0! = 1.
Ou seja, o fatorial multiplica todos os inteiros positivos de 1 até k. Isso é importante porque podemos “descer” no produto para relacionar fatoriais diferentes.

Passo 3

Escrevemos (n+1)! expandindo os primeiros fatores até aparecer (n-1)!. Pela definição de fatorial temos
(n+1)! = (n+1)\cdot n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots 2\cdot 1.
Note que os termos a partir de (n-1) multiplicam exatamente como em (n-1)!. Logo podemos agrupar:
(n+1)! = (n+1)\cdot n\cdot (n-1)!.
Aqui usei que o produto continua até chegar em (n-1)!, permitindo essa fatoração.

Passo 4

Substituímos a expressão encontrada no numerador da fração:
\frac{(n+1)!}{(n-1)!} = \frac{(n+1)\cdot n\cdot (n-1)!}{(n-1)!}.
Agora podemos cancelar (n-1)! no numerador e denominador (isso é válido porque (n-1)!\neq 0; de fato (n-1)!\ge 1 para n\ge 1):
\frac{(n+1)!}{(n-1)!} = (n+1)\cdot n.

Passo 5

Podemos reescrever o resultado de forma expandida, se preferir:
(n+1)\cdot n = n(n+1) = n^2 + n.
Também é bom verificar com exemplos rápidos: para n=1 temos \frac{2!}{0!}=2 e a fórmula dá 1\cdot 2=2; para n=3 temos \frac{4!}{2!}=\frac{24}{2}=12 e a fórmula dá 3\cdot 4=12. Está consistente.

Resposta

(n+1)\cdot n

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