Simplificar e calcule o valor das expressões:
Passo 1
O enunciado pede para simplificar e calcular o valor da expressão
com a condição
.
Informações dadas: a expressão que envolve fatoriais e o domínio do parâmetro .
Informações dadas: a expressão que envolve fatoriais e o domínio do parâmetro
Passo 2
Vamos lembrar o que é fatorial. Para um inteiro
definimos
e por convenção
Ou seja, o fatorial multiplica todos os inteiros positivos de
até
. Isso é importante porque podemos “descer” no produto para relacionar fatoriais diferentes.
Passo 3
Escrevemos
expandindo os primeiros fatores até aparecer
. Pela definição de fatorial temos
Note que os termos a partir de
multiplicam exatamente como em
. Logo podemos agrupar:
Aqui usei que o produto continua até chegar em
, permitindo essa fatoração.
Passo 4
Substituímos a expressão encontrada no numerador da fração:
Agora podemos cancelar
no numerador e denominador (isso é válido porque
; de fato
para
):
Passo 5
Podemos reescrever o resultado de forma expandida, se preferir:
Também é bom verificar com exemplos rápidos: para
temos
e a fórmula dá
; para
temos
e a fórmula dá
. Está consistente.