Simplificar e calcule o valor das expressões:
\frac{40!-39!}{41!}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar e calcular o valor da expressão
\frac{40!-39!}{41!}.
Informações dadas: temos os fatoriais \,40!\,,\,39!\, e \,41!\,. A tarefa é manipular essa expressão algébrica para obter um valor numérico simplificado.

Passo 2

Lembrete útil sobre fatoriais (vamos devagar, como se eu estivesse explicando pra um amigo): por definição, para todo inteiro n\ge1,
n! = n\cdot (n-1)!.
Isso significa, por exemplo, que
40! = 40\cdot 39!
e
41! = 41\cdot 40!.
Um exemplo concreto para fixar a ideia: 5! = 5\cdot 4! e 4! = 24, então 5! = 5\cdot 24 = 120. Mesma lógica vale para números grandes, só que a gente não precisa calcular os valores enormes porque vamos cancelar fatores.

Passo 3

Use a relação \,40! = 40\cdot 39!\, para reescrever o numerador:
40!-39! = (40\cdot 39!) - 39! = (40-1)\cdot 39! = 39\cdot 39!.
Então a expressão vira
\frac{40!-39!}{41!} = \frac{39\cdot 39!}{41!}.

Passo 4

Agora reescrevemos o denominador usando \,41! = 41\cdot 40!\, e também 40! = 40\cdot 39!. Assim
41! = 41\cdot 40! = 41\cdot (40\cdot 39!) = 41\cdot 40\cdot 39!.
Então a fração fica
\frac{39\cdot 39!}{41\cdot 40\cdot 39!}.

Passo 5

Como \,39!\neq 0, podemos cancelar o fator comum \,39!\, no numerador e denominador:
\frac{39\cdot 39!}{41\cdot 40\cdot 39!} = \frac{39}{41\cdot 40}.
Multiplicando no denominador:
41\cdot 40 = 1640,
portanto
\frac{39}{41\cdot 40} = \frac{39}{1640}.

Passo 6

Verificamos se dá para simplificar a fração \frac{39}{1640}. Fatores de 39 são 3 e 13 ( 39=3\cdot 13). Fatores de 1640 são 2^3\cdot 5\cdot 41 (pois 1640=40\cdot 41=2^3\cdot 5\cdot 41). Não há fatores comuns entre \{3,13\} e \{2,5,41\}, então a fração já está irredutível.

Passo 7

Se quiser um valor aproximado em decimal, fazemos a divisão:
\frac{39}{1640}\approx 0{,}0237804878\ldots
mas o valor exato e simplificado é a fração encontrada.

Resposta

\dfrac{39}{1640}

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