Simplifique:
(b) \frac{a^{4} b^{-3}}{\left(a^{2} b^{-3}\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão abaixo:
\frac{a^{4} b^{-3}}{\left(a^{2} b^{-3}\right)^{2}}.
Informações dadas: a expressão envolve potências com expoentes inteiros (positivos e negativos). É preciso transformar e reduzir essa expressão a uma forma mais simples. (Pressupõe-se que a e b são diferentes de zero, para que as potências negativas façam sentido.)

Passo 2

Vamos revisar as regras de potências que vamos usar (cada fórmula está em TeX):
(xy)^n = x^n y^n,
(x^m)^n = x^{m n},
\frac{x^p}{x^q} = x^{p-q},
x^{-r}=\frac{1}{x^r}.
Explicação curta e prática: ao elevar um produto a uma potência, cada fator recebe essa potência; ao elevar uma potência a outra potência, multiplica-se os expoentes; ao dividir potências de mesma base, subtrai-se os expoentes; expoente negativo indica inverso multiplicativo.

Passo 3

Aplicar a propriedade \,(x^m)^n = x^{mn}\, e \,(xy)^n = x^n y^n\, ao denominador:
\left(a^{2} b^{-3}\right)^{2} = (a^{2})^{2}\,(b^{-3})^{2}.
Agora multiplicamos expoentes em cada fator:
(a^{2})^{2}=a^{2\cdot 2}=a^{4}, \qquad (b^{-3})^{2}=b^{-3\cdot 2}=b^{-6}.
Portanto
\left(a^{2} b^{-3}\right)^{2}=a^{4} b^{-6}.

Passo 4

Substituindo no numerador/denominador obtemos
\frac{a^{4} b^{-3}}{a^{4} b^{-6}}.
Agora usamos a regra da divisão de potências de mesma base: \dfrac{x^p}{x^q}=x^{p-q}. Primeiro para a base a:
\frac{a^{4}}{a^{4}}=a^{4-4}=a^{0}.
Lembrando que a^{0}=1 (para a\neq0), então a parte em a simplifica para 1.

Passo 5

Agora a parte em b:
\frac{b^{-3}}{b^{-6}}=b^{-3-(-6)}=b^{-3+6}=b^{3}.
Passo a passo: subtrai-se os expoentes -3-(-6), que dá 3.

Passo 6

Multiplicando as partes simplificadas (parte em a e em b) obtemos
1\cdot b^{3}=b^{3}.
Portanto a expressão simplificada é b^{3}.

Resposta

b^{3}

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