Resolva as seguintes integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por substituição:
\int\left(\cos ^{2} x \operatorname{sen} x\right) d x;

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int\left(\cos^{2}x\,\sin x\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é o produto de \cos^{2}x por \sin x.
  • Procura-se uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\cos^{2}x\,\sin x.
    Nada mais é fornecido pelo enunciado.

Passo 2

Ideia da técnica de substituição (explicação didática):
  • A substituição serve para simplificar a integral tornando-a numa integral mais simples em termos de uma nova variável u.
  • Se escolhermos uma função u=g(x) cuja derivada g'(x) aparece (ou aparece com um sinal/constante) no integrando, podemos escrever du=g'(x)\,dx e trocar as variáveis.
  • Regra prática: quando há uma composição f(g(x)) e também aparece algo parecido com g'(x)\,dx, tente u=g(x).
Aplicando essa ideia ao nosso integrando \cos^{2}x\,\sin x:
  • Note que a derivada de \cos x é -\sin x. Como o integrando tem um fator \sin x, isso sugere escolher
u=\cos x.

Passo 3

Calcular du e reescrever a integral:
  • Diferenciando u=\cos x obtemos
du = -\sin x\,dx.
  • Isolando \sin x\,dx temos
\sin x\,dx = -du.
  • Além disso \cos^{2}x = u^{2}. Portanto a integral em x transforma-se numa integral em u:
\int \cos^{2}x\,\sin x\,dx = \int u^{2}(-du) = -\int u^{2}\,du.

Passo 4

Calcular a integral em u usando a regra de potência:
  • Regra de potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
  • Aqui n=2, logo
-\int u^{2}\,du = -\frac{u^{3}}{3}+C.

Passo 5

Voltar para a variável original x (retro-substituição):
  • Lembrando que u=\cos x, substitui-se:
-\frac{u^{3}}{3}+C = -\frac{\cos^{3}x}{3}+C.

Passo 6

Verificação rápida (derivação da primitiva encontrada):
  • Diferenciando -\dfrac{\cos^{3}x}{3} obtemos
\frac{d}{dx}\left(-\frac{\cos^{3}x}{3}\right) = -\frac{1}{3}\cdot 3\cos^{2}x\cdot (-\sin x) = \cos^{2}x\,\sin x,
o que confirma que a primitiva está correta.

Resposta

-\dfrac{\cos^{3}x}{3}+C

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