Resolva as seguintes integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por substituição:
;
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é o produto de
por . - Procura-se uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função
tal que .
Nada mais é fornecido pelo enunciado.
Passo 2
Ideia da técnica de substituição (explicação didática):
- A substituição serve para simplificar a integral tornando-a numa integral mais simples em termos de uma nova variável
. - Se escolhermos uma função
cuja derivada aparece (ou aparece com um sinal/constante) no integrando, podemos escrever e trocar as variáveis. - Regra prática: quando há uma composição
e também aparece algo parecido com , tente .
Aplicando essa ideia ao nosso integrando
:
- Note que a derivada de
é . Como o integrando tem um fator , isso sugere escolher
Passo 3
Calcular
e reescrever a integral:
- Diferenciando
obtemos
- Isolando
temos
- Além disso
. Portanto a integral em transforma-se numa integral em :
Passo 4
Calcular a integral em
usando a regra de potência:
- Regra de potência para integrais: para
,
- Aqui
, logo
Passo 5
Voltar para a variável original
(retro-substituição):
- Lembrando que
, substitui-se:
Passo 6
Verificação rápida (derivação da primitiva encontrada):
- Diferenciando
obtemos
o que confirma que a primitiva está correta.