x=\overline{(C+D)}+\bar{A} C \bar{D}+A \bar{B} \bar{C}+\bar{A} \bar{B} C D+A C \bar{D}
Passo 1
O enunciado dá a expressão booleana abaixo e pede para simplificá‑la:
x=\overline{(C+D)}+\bar{A} C \bar{D}+A \bar{B} \bar{C}+\bar{A} \bar{B} C D+A C \bar{D}
Informações relevantes fornecidas:
Há cinco termos somados (OR) na expressão.
A barra (\bar{\cdot}) indica negação (NOT), a justaposição indica AND, e o + indica OR.
A tarefa é reduzir a expressão a uma forma mais simples (menos termos/literalmente mais compacta) usando álgebra booleana.
Passo 2
Primeiro aplicamos a Lei de De Morgan em \overline{(C+D)}. A lei diz que \overline{(P+Q)}=\bar P\,\bar Q. Portanto:
\overline{(C+D)}=\bar C\,\bar D.
Reescrevendo x com isso:
x=\bar C\bar D+\bar A C \bar D+A \bar B \bar C+\bar A \bar B C D+A C \bar D.
Passo 3
Agora observamos os termos que contêm C\bar D: são \bar A C \bar D e A C \bar D, e também há o termo A C \bar D explícito (já listado). Podemos fatorar C\bar D:
\bar A C \bar D + A C \bar D = (\bar A + A)\,C\bar D.
Como \bar A + A = 1 (uma variável OU sua negação é 1), temos:
\bar A C \bar D + A C \bar D = 1\cdot C\bar D = C\bar D.
Substituindo na expressão:
x=\bar C\bar D + C\bar D + A \bar B \bar C + \bar A \bar B C D.
Passo 4
Agora somamos \bar C\bar D com C\bar D. Podemos fatorar \bar D:
\bar C\bar D + C\bar D = (\bar C + C)\bar D = 1\cdot\bar D = \bar D.
Logo a expressão fica:
x=\bar D + A \bar B \bar C + \bar A \bar B C D.
Passo 5
O termo \bar A \bar B C D tem um D multiplicando algo, e temos \bar D somado. Usamos a identidade
\bar D + D Y = \bar D + Y,
que pode ser verificada por distributiva: \bar D + D Y = (\bar D + D)(\bar D + Y) = 1\cdot(\bar D + Y)=\bar D+Y.
Tomando Y=\bar A\bar B C, obtemos:
\bar D + \bar A\bar B C D = \bar D + \bar A\bar B C.
Assim:
x=\bar D + A\bar B\bar C + \bar A\bar B C.
Passo 6
Agora podemos fatorar \bar B nos dois últimos termos:
A\bar B\bar C + \bar A\bar B C = \bar B\,(A\bar C + \bar A C).
Portanto:
x=\bar D + \bar B\,(A\bar C + \bar A C).
Passo 7
Comentário didático rápido sobre o parêntese A\bar C + \bar A C: esse é justamente a expressão da disjunção exclusiva entre A e C (XOR). Em álgebra booleana, A\bar C + \bar A C é verdadeira quando exatamente uma entre A e C vale 1. Não precisamos substituir por outro símbolo; a forma A\bar C + \bar A C já é simples e mantemos tudo em SOMA‑DE‑PRODUTOS parcialmente fatorada.