Mostre como \mathrm{z}=\mathrm{AB} \overline{\mathrm{C}} pode ser implementado com 1 porta NOR de 2 entradas e 1 porta NAND de 2 entradas.

Passo 1

O enunciado dá a função lógica \mathrm{z} = \mathrm{A}\,\mathrm{B}\,\overline{\mathrm{C}} e pede que ela seja implementada usando exatamente uma porta NOR de 2 entradas e uma porta NAND de 2 entradas.
Informações relevantes: entradas disponíveis são \mathrm{A}, \mathrm{B} e \mathrm{C}; há apenas uma porta NAND (2 entradas) e apenas uma porta NOR (2 entradas). A tarefa é mostrar como ligar essas portas para obter \mathrm{z}=\mathrm{A}\mathrm{B}\overline{\mathrm{C}}.

Passo 2

Vamos recordar o que faz cada porta (isso é importante para você poder usar as portas corretamente na prova).
  • A porta NAND de duas entradas com entradas X e Y tem saída
(XY)'.
Aqui ' significa negação (complemento). Ou seja, a saída é a negação do AND de X e Y.
  • A porta NOR de duas entradas com entradas U e V tem saída
(U+V)'.
Ou seja, a saída é a negação do OR de U e V.
Também vamos usar as Leis de De Morgan, que são fundamentais aqui:
(X+Y)' = X'\,Y' \qquad\text{e}\qquad (XY)' = X' + Y'.
Eu vou empregar a primeira delas explicitamente mais adiante.

Passo 3

Estratégia simples e eficiente (não precisa de portas extras): produzir com a NAND o sinal (\mathrm{A}\mathrm{B})' e depois usar a NOR com esse sinal e \mathrm{C}. Para fixar, defina
\mathrm{N} := (\mathrm{A}\mathrm{B})'
como a saída da porta NAND aplicada às entradas \mathrm{A} e \mathrm{B}. Em seguida vamos calcular a saída da porta NOR com entradas \mathrm{N} e \mathrm{C}.

Passo 4

Determine a saída da NOR quando suas entradas são \mathrm{N} e \mathrm{C}. A saída da NOR é
(\mathrm{N} + \mathrm{C})'.
Aplicando De Morgan \, (X+Y)' = X'Y' \, ao caso \mathrm{N} e \mathrm{C}, obtemos
(\mathrm{N} + \mathrm{C})' = \mathrm{N}'\,\mathrm{C}'.

Passo 5

Substituímos \mathrm{N} = (\mathrm{A}\mathrm{B})' na expressão do passo anterior. Temos
\mathrm{N}'\,\mathrm{C}' = \big((\mathrm{A}\mathrm{B})'\big)'\,\mathrm{C}'.
Mas a dupla negação anula-se, isto é \big((\mathrm{A}\mathrm{B})'\big)' = \mathrm{A}\mathrm{B}. Logo
\big((\mathrm{A}\mathrm{B})'\big)'\,\mathrm{C}' = \mathrm{A}\mathrm{B}\,\mathrm{C}'.
Note que \mathrm{C}' é o mesmo que \overline{\mathrm{C}}. Portanto a saída da NOR é exatamente
\mathrm{A}\mathrm{B}\,\overline{\mathrm{C}},
que é a função \mathrm{z} que queríamos implementar.

Passo 6

Resumo das conexões (passo a passo prático para montar na prova ou no diagrama):
  1. Ligue a porta NAND de 2 entradas com entradas \mathrm{A} e \mathrm{B}. A saída dessa NAND é \mathrm{N}=(\mathrm{A}\mathrm{B})'.
  2. Ligue a porta NOR de 2 entradas com entradas \mathrm{N} (saída da NAND) e \mathrm{C}. A saída da NOR é (\mathrm{N}+\mathrm{C})'=\mathrm{A}\mathrm{B}\,\overline{\mathrm{C}}.
    Isso usa exatamente uma NAND (2 entradas) e uma NOR (2 entradas), como pedido.

Resposta

Ligar a NAND(2 entradas) às entradas \mathrm{A} e \mathrm{B}; chamar sua saída de \mathrm{N}=(\mathrm{A}\mathrm{B})'. Em seguida ligar a NOR(2 entradas) com entradas \mathrm{N} e \mathrm{C}. A saída da NOR é \mathrm{z}=\mathrm{A}\mathrm{B}\,\overline{\mathrm{C}}.

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