Simplifique as expressōes convertendo as raízes em potências. Elimine expoentes negativos, caso existam, e racionalize os denominadores. Se necessário, suponha que as variáveis são números positivos e que os denominadores sāo nāo nulos.
\sqrt[4]{81 x^{2} y^{8}}

Passo 1

O enunciado dá a expressão
\sqrt[4]{81 x^{2} y^{8}}
e pede para simplificá‑la: converter raízes em potências, eliminar expoentes negativos (se houver) e racionalizar denominadores (se necessário). Supõe‑se que as variáveis são positivas e os denominadores não nulos.

Passo 2

Regra-chave que vamos usar (explicação didática e simples):
  • A raiz enésima transforma‑se em potência pela relação
\sqrt[n]{a}=a^{1/n},
onde a é a base e n o índice da raiz.
  • A raiz de um produto é o produto das raízes (ou equivalentemente a potência do produto):
\sqrt[n]{ab}=(ab)^{1/n}=a^{1/n}b^{1/n}.
  • Para potências compostas vale a lei dos expoentes
\big(a^{m}\big)^{n}=a^{mn}.
Essas fórmulas permitem passar de radicais para potências e simplificar expoentes.

Passo 3

Aplicando a definição de potência fracionária à expressão dada obtemos (transformando a raiz quarta em expoente 1/4):
\sqrt[4]{81 x^{2} y^{8}}=(81 x^{2} y^{8})^{1/4}=81^{1/4}x^{2/4}y^{8/4}.

Passo 4

Simplificamos cada fator separadamente:
  • Para a constante 81: 81=3^{4}, logo
81^{1/4}=(3^{4})^{1/4}=3^{4\cdot(1/4)}=3^{1}=3.
  • Para x:
x^{2/4}=x^{1/2}.
  • Para y:
y^{8/4}=y^{2}.

Passo 5

Verificações finais e observações didáticas:
  • Não apareceram expoentes negativos em nenhum passo, portanto não há nada a eliminar.
  • Não há denominador a racionalizar (a expressão ficou com produto de fatores no numerador).
  • Mantendo o padrão pedido (usar potências), os fatores simplificados são 3, x^{1/2} e y^{2}.

Resposta

3 x^{1/2} y^{2}

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