Simplifique as expressōes convertendo as raízes em potências. Elimine expoentes negativos, caso existam, e racionalize os denominadores. Se necessário, suponha que as variáveis são números positivos e que os denominadores sāo nāo nulos.
\left(\frac{5}{\sqrt{2}}\right)^{-3} \sqrt{\frac{25}{8}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão, convertendo raízes em potências, eliminando expoentes negativos (se houver) e racionalizando denominadores. A expressão dada é:
\left(\frac{5}{\sqrt{2}}\right)^{-3}\sqrt{\frac{25}{8}}.
As informações relevantes são:
  • Converter todas as raízes em potências e usar propriedades de expoentes.
  • Eliminar expoentes negativos.
  • Racionalizar denominadores (se necessário).
  • Supor que as quantidades envolvidas são válidas para as operações (denominadores não nulos, etc.).

Passo 2

Primeiro, vamos transformar as raízes em potências e lembrar as regras básicas que usaremos.
Regra de conversão de raiz para potência:
\sqrt[n]{a}=a^{1/n}.
No nosso caso a raiz quadrada corresponde a expoente 1/2, então:
\sqrt{2}=2^{1/2},\qquad \sqrt{\frac{25}{8}}=\left(\frac{25}{8}\right)^{1/2}.
Também usaremos propriedades de expoentes importantes e intuitivas:
  • Produto de potências com mesma base: a^{p}a^{q}=a^{p+q}.
  • Potência de potência: (a^{p})^{q}=a^{pq}.
  • Potência de uma fração: \left(\frac{a}{b}\right)^{p}=\frac{a^{p}}{b^{p}}.
  • Expoente negativo: a^{-p}=\frac{1}{a^{p}} e, portanto, \left(\frac{a}{b}\right)^{-p}=\left(\frac{b}{a}\right)^{p}.

Passo 3

Aplicando essas ideias ao primeiro fator:
\left(\frac{5}{\sqrt{2}}\right)^{-3}=\left(\frac{5}{2^{1/2}}\right)^{-3}.
Usando \left(\frac{a}{b}\right)^{-3}=\left(\frac{b}{a}\right)^{3} obtemos
\left(\frac{5}{2^{1/2}}\right)^{-3}=\left(\frac{2^{1/2}}{5}\right)^{3}.
Agora aplicamos potência de fração:
\left(\frac{2^{1/2}}{5}\right)^{3}=\frac{(2^{1/2})^{3}}{5^{3}}.
E usando (2^{1/2})^{3}=2^{(1/2)\cdot 3}=2^{3/2} e 5^{3}=125, resulta
\left(\frac{5}{\sqrt{2}}\right)^{-3}=\frac{2^{3/2}}{125}.

Passo 4

Agora o segundo fator:
\sqrt{\frac{25}{8}}=\left(\frac{25}{8}\right)^{1/2}=\frac{25^{1/2}}{8^{1/2}}.
Calculando cada termo:
25^{1/2}=5,\qquad 8^{1/2}=(2^{3})^{1/2}=2^{3/2}.
Portanto
\sqrt{\frac{25}{8}}=\frac{5}{2^{3/2}}.

Passo 5

Multiplicamos as formas simplificadas dos dois fatores:
\frac{2^{3/2}}{125}\cdot\frac{5}{2^{3/2}}.
Aqui vemos um termo igual em numerador e denominador: 2^{3/2} cancela:
\frac{2^{3/2}}{125}\cdot\frac{5}{2^{3/2}}=\frac{5}{125}.
Simplificando a fração \dfrac{5}{125}:
\frac{5}{125}=\frac{1}{25}.

Passo 6

Verificamos as condições pedidas:
  • Não há mais expoentes negativos.
  • O denominador é racional (é 25), logo está racionalizado.
    Portanto a forma final simplificada é \dfrac{1}{25}.

Resposta

\dfrac{1}{25}

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