Simplifique as expressōes convertendo as raízes em potências. Elimine expoentes negativos, caso existam, e racionalize os denominadores. Se necessário, suponha que as variáveis são números positivos e que os denominadores sāo nāo nulos.
\left(x^{-5} y^{1 / 3}\right)^{-3 / 5}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão, eliminando expoentes negativos e racionalizando denominadores, supondo que as variáveis são positivas. A expressão dada é \left(x^{-5} y^{1/3}\right)^{-3/5}. Vou listar o que está dado e o que se pede:
  • Dado: \left(x^{-5} y^{1/3}\right)^{-3/5}.
  • Pedidos: converter raízes em potências (se houver), eliminar expoentes negativos e racionalizar o denominador (nenhum denominador nulo e variáveis positivas).

Passo 2

Aplicar as propriedades de potências: (ab)^c = a^c b^c e (a^m)^n = a^{mn}. Primeiro distribuo o expoente -3/5 sobre o produto:
\left(x^{-5} y^{1/3}\right)^{-3/5} = x^{-5\cdot(-3/5)}\; y^{(1/3)\cdot(-3/5)}.
Calculo os produtos dos expoentes:
-5\cdot\left(-\tfrac{3}{5}\right)=3, \qquad \left(\tfrac{1}{3}\right)\cdot\left(-\tfrac{3}{5}\right)=-\tfrac{1}{5}.
Logo
\left(x^{-5} y^{1/3}\right)^{-3/5} = x^{3}\; y^{-1/5}.

Passo 3

Eliminar expoentes negativos usando a^{-m}=\dfrac{1}{a^{m}}. Aplicando a isso a potência de y:
x^{3}\; y^{-1/5} = \frac{x^{3}}{y^{1/5}}.
Agora o único expoente negativo foi removido (não há expoentes negativos sobrando), mas o denominador contém uma potência fracionária \,y^{1/5}\, que queremos racionalizar.

Passo 4

Racionalizar o denominador significa eliminar a potência fracionária do denominador. Para isso multiplicamos numerador e denominador por uma potência de y que, somada a 1/5, dê um inteiro. Escolhemos y^{4/5} porque \tfrac{1}{5}+\tfrac{4}{5}=1. Então:
\frac{x^{3}}{y^{1/5}}\cdot\frac{y^{4/5}}{y^{4/5}} = \frac{x^{3}y^{4/5}}{y^{1/5+4/5}} = \frac{x^{3}y^{4/5}}{y^{1}}.
Como y^{1}=y, obtemos
\frac{x^{3}y^{4/5}}{y}.

Passo 5

Verificação final:
  • Não há expoentes negativos.
  • O denominador é y, uma potência inteira (racionalizado).
  • As raízes estão representadas por potências racionais (por exemplo y^{4/5} corresponde a \sqrt[5]{y^{4}}).

Resposta

\dfrac{x^{3}y^{4/5}}{y}

Exercícios relacionados