Simplifique as expressōes convertendo as raízes em potências. Elimine expoentes negativos, caso existam, e racionalize os denominadores. Se necessário, suponha que as variáveis são números positivos e que os denominadores sāo nāo nulos.
\frac{5^{-1 / 2}\left(5 x^{5 / 2}\right)}{(5 x)^{3 / 2}}

Passo 1

O que o enunciado pede: simplificar a expressão e eliminar expoentes negativos e racionalizar denominares, se houver. A expressão dada é
\frac{5^{-1/2}\left(5 x^{5/2}\right)}{(5 x)^{3/2}}.
Informações fornecidas e suposições (usadas se necessário): as variáveis são números positivos e os denominadores são não nulos.

Passo 2

Primeiro simplifico o numerador usando a propriedade de potências para produto: quando se multiplica potências de mesma base soma-se os expoentes, e 5 pode ser visto como 5^{1}. Assim,
5^{-1/2}\cdot\left(5 x^{5/2}\right)=5^{-1/2}\cdot 5^{1}\cdot x^{5/2}.
Explicação da regra usada: para qualquer base positiva a e expoentes m,n vale a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}. Por exemplo, 2^{3}\cdot 2^{1/2}=2^{3+1/2}=2^{7/2}.

Passo 3

Agora aplico a soma dos expoentes na base 5:
5^{-1/2}\cdot 5^{1}=5^{-1/2+1}=5^{1/2}.
Portanto o numerador fica
5^{1/2} x^{5/2}.

Passo 4

Simplifico o denominador usando a propriedade (ab)^{m}=a^{m}b^{m}. Assim
(5x)^{3/2}=5^{3/2}x^{3/2}.
Explicação da regra: a potência de um produto distribui a potência para cada fator; por exemplo (2y)^{3}=2^{3}y^{3}.

Passo 5

Agora escrevo a fração com as potências separadas e uso a regra da divisão de potências de mesma base: a^{m}/a^{n}=a^{m-n}. Logo
\frac{5^{1/2} x^{5/2}}{5^{3/2} x^{3/2}}=5^{1/2-3/2}\;x^{5/2-3/2}.
Calculo os expoentes:
1/2-3/2=-1,\qquad 5/2-3/2=1.
Portanto a expressão vira
5^{-1} x^{1}=5^{-1}x.

Passo 6

Elimino o expoente negativo usando a^{-1}=1/a (válido para a\neq0). Assim
5^{-1}x=\frac{1}{5}x=\frac{x}{5}.
Comentário final: como foi assumido x>0 e 5\neq0, todas as operações são válidas e não houve necessidade de racionalizar raízes (já estavam em forma de potências).

Resposta

\frac{x}{5}

Exercícios relacionados