Simplifique as expressōes convertendo as raízes em potências. Elimine expoentes negativos, caso existam, e racionalize os denominadores. Se necessário, suponha que as variáveis são números positivos e que os denominadores sāo nāo nulos.
\frac{3^{1 / 2}}{\left(2 y^{3}\right)^{2}} \sqrt{\frac{64 y^{4}}{27}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão, convertendo raízes em potências, eliminando expoentes negativos e racionalizando denominadores se necessário. A expressão dada é
\frac{3^{1/2}}{\left(2 y^{3}\right)^{2}} \sqrt{\frac{64 y^{4}}{27}}.
Vou supor, conforme indicado, que y>0 e que os denominadores são não nulos.

Passo 2

Primeiro converto a raiz em potência e desenvolvo o quadrado do denominador:
\sqrt{\frac{64 y^{4}}{27}}=\left(\frac{64 y^{4}}{27}\right)^{1/2}, \qquad \left(2 y^{3}\right)^{2}=2^{2}\,y^{6}=4y^{6}.
Então a expressão fica
\frac{3^{1/2}}{4y^{6}}\left(\frac{64 y^{4}}{27}\right)^{1/2}.

Passo 3

Agora calculo \left(\dfrac{64 y^{4}}{27}\right)^{1/2} aplicando a propriedade \left(\dfrac{a}{b}\right)^{r}=\dfrac{a^{r}}{b^{r}} e (ab)^r=a^r b^r:
\left(\frac{64 y^{4}}{27}\right)^{1/2}=\frac{64^{1/2}\,y^{4\cdot(1/2)}}{27^{1/2}}=\frac{8\,y^{2}}{27^{1/2}}.
Como 27=3^{3}, tem-se 27^{1/2}=3^{3/2}. Logo
\left(\frac{64 y^{4}}{27}\right)^{1/2}=\frac{8\,y^{2}}{3^{3/2}}.

Passo 4

Substituindo isso na expressão principal:
\frac{3^{1/2}}{4y^{6}}\cdot\frac{8\,y^{2}}{3^{3/2}}.
Agrupando fatores numéricos, de y e de 3:
\frac{8\,y^{2}\,3^{1/2}}{4y^{6}\,3^{3/2}}.

Passo 5

Uso a propriedade de potências a^{m}/a^{n}=a^{m-n} para simplificar o fator em 3:
\frac{3^{1/2}}{3^{3/2}}=3^{1/2-3/2}=3^{-1}=\frac{1}{3}.
Também simplifico 8/4=2 e aplico y^{2}/y^{6}=y^{2-6}=y^{-4}. Assim obtemos
\frac{8\,y^{2}\,3^{1/2}}{4y^{6}\,3^{3/2}}=\frac{2\,y^{-4}}{3}.

Passo 6

Elimino o expoente negativo usando y^{-4}=\dfrac{1}{y^{4}}:
\frac{2\,y^{-4}}{3}=\frac{2}{3y^{4}}.
O denominador final 3y^{4} não contém raízes, portanto já está racionalizado.

Resposta

\frac{2}{3y^{4}}

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