Simplifique as expressōes convertendo as raízes em potências. Elimine expoentes negativos, caso existam, e racionalize os denominadores. Se necessário, suponha que as variáveis são números positivos e que os denominadores sāo nāo nulos.
\left(\frac{2 \sqrt{u^{5} v^{2}}}{v \sqrt{u}}\right)\left(\frac{v^{2}}{2 \sqrt{u}}\right)^{2}

Passo 1

O que o problema dá e pede:
  • Expressão a simplificar: \left(\frac{2 \sqrt{u^{5} v^{2}}}{v \sqrt{u}}\right)\left(\frac{v^{2}}{2 \sqrt{u}}\right)^{2}.
  • Instruções: converter as raízes em potências, eliminar expoentes negativos (se aparecerem) e racionalizar denominadores.
  • Hipóteses que podemos usar: u>0, v>0 e denominadores não nulos (isso permite manipular potências fracionárias sem ambiguidade).
    Agora vamos transformar radical em potências e simplificar passo a passo.

Passo 2

Converter radicais em potências: lembrar que \sqrt{x}=x^{1/2} e que \sqrt{x^k}=x^{k/2}. Aplicando isso a cada raiz da expressão:
\left(\frac{2\,(u^{5}v^{2})^{1/2}}{v\,u^{1/2}}\right)\left(\frac{v^{2}}{2\,u^{1/2}}\right)^{2}.

Passo 3

Simplificar o primeiro fator \displaystyle \frac{2\,(u^{5}v^{2})^{1/2}}{v\,u^{1/2}}.
Usar que (ab)^{\alpha}=a^{\alpha}b^{\alpha}, então (u^{5}v^{2})^{1/2}=u^{5/2}v^{2/2}=u^{5/2}v^{1}. Assim:
\frac{2\,u^{5/2}v}{v\,u^{1/2}}.
Agora cancelar v (pois v\neq0) e usar regra de divisão de potências com mesma base: u^{5/2}/u^{1/2}=u^{5/2-1/2}=u^{4/2}=u^{2}. Logo o primeiro fator simplifica para
2u^{2}.

Passo 4

Tratar o segundo fator \displaystyle \left(\frac{v^{2}}{2\,u^{1/2}}\right)^{2}.
Usar \left(\frac{a}{b}\right)^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}} e (a^{m})^{n}=a^{mn}. Assim:
\left(\frac{v^{2}}{2\,u^{1/2}}\right)^{2}=\frac{(v^{2})^{2}}{2^{2}\,(u^{1/2})^{2}}=\frac{v^{4}}{4\,u^{1}}=\frac{v^{4}}{4u}.

Passo 5

Multiplicar os dois fatores simplificados: 2u^{2} e \dfrac{v^{4}}{4u}.
2u^{2}\cdot\frac{v^{4}}{4u}=\frac{2}{4}\cdot\frac{u^{2}}{u}\cdot v^{4}.
Calcular coeficiente: \dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}. Para as potências de u: u^{2}/u^{1}=u^{2-1}=u^{1}=u. Portanto o produto é
\frac{1}{2}\,u\,v^{4}=\frac{u v^{4}}{2}.

Passo 6

Verificações finais:
  • Não há radicais: todos convertidos para potências e eliminados.
  • Não há expoentes negativos.
  • Denominador é o inteiro 2, já racionalizado.

Resposta

\dfrac{u v^{4}}{2}

Exercícios relacionados