Simplifique as expressōes convertendo as raízes em potências. Elimine expoentes negativos, caso existam, e racionalize os denominadores. Se necessário, suponha que as variáveis são números positivos e que os denominadores sāo nāo nulos.
(2 x)^{1 / 2} \sqrt{\frac{32}{x^{7}}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão e fazer três coisas: transformar raízes em potências, eliminar expoentes negativos (se houver) e racionalizar o denominador. A expressão dada é
(2 x)^{1/2}\,\sqrt{\frac{32}{x^{7}}}.
Informações úteis que vamos usar (assuma x>0 e denominadores não nulos, como o enunciado permite).

Passo 2

Converter todas as raízes em potências fracionárias. Lembre que \sqrt{\,\cdot\,} = (\cdot)^{1/2}. Assim:
(2 x)^{1/2}\,\sqrt{\frac{32}{x^{7}}} = (2x)^{1/2}\left(\frac{32}{x^{7}}\right)^{1/2}.

Passo 3

Usar a propriedade de potências que diz que, para expoente comum, o produto de potências é a potência do produto:
A^{m}B^{m}=(AB)^{m}.
Aqui A=2x, B=\dfrac{32}{x^7} e m=\tfrac{1}{2}. Como x>0, não há problema em juntar as raízes. Portanto:
(2x)^{1/2}\left(\frac{32}{x^{7}}\right)^{1/2}=\left((2x)\cdot\frac{32}{x^{7}}\right)^{1/2}.

Passo 4

Fazer a multiplicação dentro da potência passo a passo:
(2x)\cdot\frac{32}{x^{7}}=\frac{2\cdot 32\cdot x}{x^{7}}=\frac{64x}{x^{7}}.
Simplificar a potência de x no numerador e denominador usando x^a/x^b=x^{a-b}:
\frac{64x}{x^{7}}=\frac{64}{x^{6}}.

Passo 5

Agora temos
\left(\frac{64}{x^{6}}\right)^{1/2}.
Usar a propriedade \left(\dfrac{a}{b}\right)^m=\dfrac{a^m}{b^m} para separar numerador e denominador:
\left(\frac{64}{x^{6}}\right)^{1/2}=\frac{64^{1/2}}{(x^{6})^{1/2}}.

Passo 6

Calcular cada parte: 64^{1/2} é a raiz quadrada de 64, que é 8. Para a potência de x, usar (x^{a})^{b}=x^{ab}:
(x^{6})^{1/2}=x^{6\cdot(1/2)}=x^{3}.
Assim:
\frac{64^{1/2}}{(x^{6})^{1/2}}=\frac{8}{x^{3}}.

Passo 7

Verificar as exigências: não há expoentes negativos (o expoente de x é 3 positivo) e o denominador não contém raízes (já está racionalizado). Portanto a forma final simplificada é
\frac{8}{x^{3}}.

Resposta

\dfrac{8}{x^{3}}

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