Simplifique as expressões, eliminando expoentes negativos, caso existam. Sempre que necessário, suponha que o denominador é não nulo.
\left(\frac{2 x}{4}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão e eliminar expoentes negativos, caso existam. A expressão dada é \left(\frac{2x}{4}\right)^3. Suponha que quaisquer denominadores envolvidos são não nulos (aqui 4\neq0).

Passo 2

Vamos lembrar duas propriedades que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Regra do quociente com potência: para quaisquer números/expressões a,b e inteiro n,
\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}.
Isto significa que a potência distribui-se tanto para o numerador quanto para o denominador.
  • Regra do produto com potência: para a,b e inteiro n,
(ab)^n = a^n b^n.
Isto permite separar fatores quando elevamos um produto a uma potência.
Também é conveniente simplificar fatores comuns antes de calcular potências grandes, para manter os números pequenos.

Passo 3

Aplique a regra do quociente com potência à expressão:
\left(\frac{2x}{4}\right)^3 = \frac{(2x)^3}{4^3}.

Passo 4

Agora aplique a regra do produto com potência no numerador (2x)^3:
(2x)^3 = 2^3 x^3.
Portanto
\frac{(2x)^3}{4^3} = \frac{2^3 x^3}{4^3}.

Passo 5

Calcule as potências numéricas 2^3 e 4^3:
2^3 = 8,\qquad 4^3 = 64.
Logo
\frac{2^3 x^3}{4^3} = \frac{8x^3}{64}.

Passo 6

Simplifique a fração \dfrac{8}{64}. Como \gcd(8,64)=8, divide-se numerador e denominador por 8:
\frac{8x^3}{64} = \frac{1\cdot x^3}{8} = \frac{x^3}{8}.

Passo 7

Observação alternativa curta (útil para a prova): poderia-se primeiro simplificar \dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2} e depois elevar ao cubo:
\left(\frac{2x}{4}\right)^3 = \left(\frac{x}{2}\right)^3 = \frac{x^3}{2^3} = \frac{x^3}{8},
mesmo resultado, mas com contas menores.

Passo 8

Não há expoentes negativos na expressão final; portanto já eliminamos quaisquer expoentes negativos (se existissem).

Resposta

\dfrac{x^3}{8}

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