Simplifique as expressões, eliminando expoentes negativos, caso existam. Sempre que necessário, suponha que o denominador é não nulo.
\left(\frac{4 s t^{3}}{u^{5}}\right)^{2}\left(\frac{s^{4} t}{u^{-2}}\right)^{-1}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão, eliminando expoentes negativos quando existirem. A expressão dada é:
\left(\frac{4 s t^{3}}{u^{5}}\right)^{2}\left(\frac{s^{4} t}{u^{-2}}\right)^{-1},
com a hipótese implícita de que os denominadores são não nulos (ou seja, \,s\neq0 e \,u\neq0 quando necessário).

Passo 2

Vamos lembrar (de forma prática e sem mistério) as regras de potências que usaremos. Para quaisquer números ou variáveis não nulas:
\text{(i)}\quad (ab)^{n}=a^{n}b^{n},
\text{(ii)}\quad \left(\frac{a}{b}\right)^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}},
\text{(iii)}\quad (a^{m})^{n}=a^{mn},
\text{(iv)}\quad a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\quad\text{(expoente negativo = inverso)}.
Também usaremos que, ao multiplicar potências da mesma base, somam-se os expoentes:
a^{p}\cdot a^{q}=a^{p+q}.
Essas regras são as ferramentas básicas para simplificar expressões com potências.

Passo 3

Aplicar a regra de potência a um quociente ao primeiro fator:
\left(\frac{4 s t^{3}}{u^{5}}\right)^{2} = \frac{4^{2}\,s^{2}\,(t^{3})^{2}}{(u^{5})^{2}} = \frac{16\,s^{2}\,t^{6}}{u^{10}}.
Expliquei cada parte: 4 ao quadrado vira 4^{2}=16; s ao quadrado vira s^{2}; (t^{3})^{2}=t^{6} por (iii); (u^{5})^{2}=u^{10}.

Passo 4

Simplificar o segundo fator internamente antes de aplicar o expoente -1:
\frac{s^{4} t}{u^{-2}} = s^{4} t \cdot u^{2} = s^{4} t u^{2},
pois dividir por u^{-2} é multiplicar por u^{2} (pela regra do expoente negativo).
Agora aplicar o expoente -1:
\left(s^{4} t u^{2}\right)^{-1} = s^{-4} t^{-1} u^{-2}.
Isto é simplesmente o recíproco: todos os expoentes trocam de sinal.

Passo 5

Multiplicar os dois resultados obtidos nos passos anteriores:
\frac{16\,s^{2}\,t^{6}}{u^{10}}\cdot s^{-4} t^{-1} u^{-2} =16\cdot s^{2+(-4)}\cdot t^{6+(-1)}\cdot u^{-10+(-2)}.
Somando os expoentes de cada base:
=16\,s^{-2}\,t^{5}\,u^{-12}.

Passo 6

Eliminar os expoentes negativos usando a regra a^{-n}=1/a^{n}:
16\,s^{-2}\,t^{5}\,u^{-12} =16\cdot\frac{t^{5}}{s^{2}}\cdot\frac{1}{u^{12}} =\frac{16\,t^{5}}{s^{2}\,u^{12}}.
Lembre-se: isso exige s\neq0 e u\neq0, condição já informada no enunciado.

Resposta

\displaystyle \frac{16 t^{5}}{s^{2} u^{12}}

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