Simplifique as expressões, eliminando expoentes negativos, caso existam. Sempre que necessário, suponha que o denominador é não nulo.
\frac{x^{2} y}{3}\left(\frac{3}{y}-\frac{9 y^{-1}}{2 x}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a expressão
\frac{x^{2} y}{3}\left(\frac{3}{y}-\frac{9 y^{-1}}{2 x}\right)
e pede para simplificá-la, eliminando expoentes negativos, se houver. Informações relevantes:
  • A expressão contém um expoente negativo: y^{-1}.
  • Haverá simplificações por cancelamento de fatores; para isso vamos supor que os denominadores são não nulos, ou seja x\neq 0 e y\neq 0.

Passo 2

Relembrando regras úteis (com explicação curta e intuitiva):
  • Regra de expoente negativo: \,a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}\,. Ou seja, um expoente negativo vira divisão.
  • Produto de potências com mesma base: \,a^{m}a^{n}=a^{m+n}\,.
  • Cancelamento em frações: \dfrac{ab}{ac}=\dfrac{b}{c} se a\neq0 (podemos cortar o fator comum a).
  • Distributiva: p(q-r)=pq-pr (multiplica o fator exterior por cada termo dentro dos parênteses).
Vamos aplicar essas regras passo a passo: primeiro eliminar o expoente negativo dentro do parêntese e em seguida distribuir \dfrac{x^{2}y}{3} pelos dois termos.

Passo 3

Primeiro rewrite do termo com expoente negativo usando a regra de expoente negativo:
\frac{9 y^{-1}}{2 x}=\frac{9}{2 x}\,y^{-1}=\frac{9}{2 x y}.
Portanto a expressão fica
\frac{x^{2} y}{3}\left(\frac{3}{y}-\frac{9}{2 x y}\right).

Passo 4

Agora aplicamos a distributiva: multiplicamos \dfrac{x^{2} y}{3} por cada termo do parêntese. Primeiro termo:
\frac{x^{2} y}{3}\cdot\frac{3}{y}=\frac{3x^{2}y}{3y}.
Aqui podemos cancelar o fator 3 e o fator y no numerador e denominador (lembre 3\neq0 e y\neq0), obtendo
\frac{3x^{2}y}{3y}=x^{2}.

Passo 5

Agora o segundo termo:
\frac{x^{2} y}{3}\cdot\frac{9}{2 x y}=\frac{9x^{2}y}{6xy}.
Explicando as simplificações passo a passo:
  • Multiplicação dos denominadores: 3\cdot(2x)=6x.
  • Podemos cancelar o fator y (numerador e denominador) e um fator x (pois x^{2}/x=x), ficando
\frac{9x^{2}y}{6xy}=\frac{9x^{2}}{6x}.
  • Simplificando a razão numérica 9/6 por 3: \dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}. E simplificando x^{2}/x=x. Portanto
\frac{9x^{2}}{6x}=\frac{3x}{2}.

Passo 6

Juntando os dois resultados (lembrando do sinal menos do segundo termo):
x^{2}-\frac{3x}{2}.
Podemos, se quisermos, fatorar x em evidência:
x^{2}-\frac{3x}{2}=x\left(x-\frac{3}{2}\right).
Ambas as formas estão simplificadas e não têm expoentes negativos. Lembre-se que, ao fazer cancelamentos, usamos a hipótese x\neq 0 e y\neq 0.

Resposta

x\left(x-\dfrac{3}{2}\right)

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