Simplifique as expressões, eliminando expoentes negativos, caso existam. Sempre que necessário, suponha que o denominador é não nulo.
\frac{y x^{2}}{x^{3} y^{-1}}\left(\frac{x}{y^{2}}-\frac{y}{x^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede: simplificar a expressão e eliminar expoentes negativos, caso existam. A expressão dada é
\frac{y x^{2}}{x^{3} y^{-1}}\left(\frac{x}{y^{2}}-\frac{y}{x^{2}}\right).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A expressão envolve multiplicação de frações e potências com expoentes inteiros (alguns possivelmente negativos).
  • Devem ser aplicadas as propriedades de potências e frações para simplificar, e no resultado não deve aparecer expoente negativo.
  • Sempre que for necessário, pode-se assumir que denominadores não são nulos (ou seja, x\neq0 e y\neq0).

Passo 2

Primeiro vou simplificar a fração que multiplica o parêntese:
\frac{y x^{2}}{x^{3} y^{-1}}.
Lembrete útil: a propriedade de potências e divisão diz que \dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}. Além disso, um expoente negativo satisfaz \,a^{-k}=\dfrac{1}{a^{k}}\, e portanto \dfrac{1}{a^{-k}}=a^{k}.

Passo 3

Aplicando essas regras, posso reescrever a fração como produto:
\frac{y x^{2}}{x^{3} y^{-1}} = y x^{2}\cdot\frac{1}{x^{3} y^{-1}} = y x^{2}\cdot\frac{y}{x^{3}},
pois \dfrac{1}{y^{-1}}=y.

Passo 4

Agora uso a regra das potências para x e para y:
y x^{2}\cdot\frac{y}{x^{3}} = \frac{y\cdot y\cdot x^{2}}{x^{3}} = \frac{y^{2} x^{2}}{x^{3}} = y^{2} x^{2-3} = y^{2} x^{-1}.
Como queremos eliminar expoentes negativos, reescrevo x^{-1} como \dfrac{1}{x}. Assim obtém-se
\frac{y x^{2}}{x^{3} y^{-1}} = \frac{y^{2}}{x}.

Passo 5

Substituo esse resultado de volta na expressão original:
\frac{y^{2}}{x}\left(\frac{x}{y^{2}}-\frac{y}{x^{2}}\right).
Agora distribuo \dfrac{y^{2}}{x} ao binômio (multiplicar cada termo dentro dos parênteses):

Passo 6

Primeiro termo da distribuição:
\frac{y^{2}}{x}\cdot\frac{x}{y^{2}} = \frac{y^{2}\,x}{x\,y^{2}} = 1,
pois tudo cancela: y^{2} com y^{2} e x com x.

Passo 7

Segundo termo da distribuição:
\frac{y^{2}}{x}\cdot\frac{y}{x^{2}} = \frac{y^{2}\,y}{x\,x^{2}} = \frac{y^{3}}{x^{3}}.
Aqui usei a regra de adicionar expoentes ao multiplicar potências de mesma base: y^{2}\cdot y = y^{2+1}=y^{3} e x\cdot x^{2}=x^{1+2}=x^{3}.

Passo 8

Subtraindo os dois termos obtidos:
1 - \frac{y^{3}}{x^{3}}.
Para escrever como única fração (opcional, mas muitas vezes preferível), coloco 1 sobre o denominador comum x^{3}:
1 = \frac{x^{3}}{x^{3}}, \qquad 1 - \frac{y^{3}}{x^{3}} = \frac{x^{3}-y^{3}}{x^{3}}.

Passo 9

Observação final: a forma \dfrac{x^{3}-y^{3}}{x^{3}} não contém expoentes negativos e está totalmente simplificada. Se for útil, o numerador pode ser fatorado pela diferença de cubos:
x^{3}-y^{3}=(x-y)\bigl(x^{2}+xy+y^{2}\bigr),
portanto outra forma equivalente é
\frac{(x-y)\bigl(x^{2}+xy+y^{2}\bigr)}{x^{3}}.

Resposta

\dfrac{x^{3}-y^{3}}{x^{3}}

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