Simplifique as expressões, fatorando os termos, caso necessário. Suponha sempre que os denominadores são não nulos.
\frac{x^{2} y-x y^{2}}{x-y}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão racional (fatorando quando necessário), supondo que os denominadores não são nulos. As informações dadas são:
  • Numerador: x^{2}y - x y^{2}.
  • Denominador: x - y.
  • Hipótese do enunciado: o denominador não é nulo, ou seja, x - y \neq 0 (isso evita divisão por zero).

Passo 2

Vamos observar o numerador e procurar fatores comuns. O numerador é a soma de dois termos:
x^{2}y \quad\text{e}\quad -x y^{2}.
Para fatorar, identificamos o maior fator comum a ambos os termos. Cada termo contém um fator x e um fator y. Então o fator comum é xy. Ao fatorar xy do numerador obtemos:
x^{2}y - x y^{2} = xy\bigl(x\bigr) - xy\bigl(y\bigr) = xy\bigl(x - y\bigr).
Explicando passo a passo: dividir x^{2}y por xy x; dividir x y^{2} por xy y. Por isso sobra o parêntese (x-y).

Passo 3

Substituímos a fatoração no quociente original:
\frac{x^{2}y - x y^{2}}{x-y} = \frac{xy\bigl(x - y\bigr)}{x - y}.
Agora aplicamos a regra de cancelamento de fatores comuns: se um mesmo fator aparece no numerador e no denominador e esse fator é diferente de zero, podemos dividi-lo em ambos. O enunciado já garante que x-y \neq 0, então podemos cancelar (x-y):
\frac{xy\bigl(x - y\bigr)}{x - y} = xy.
Observação importante: a igualdade acima vale para todos os pares (x,y) tais que x-y\neq 0. Para x=y a expressão original é indefinida (divisão por zero).

Passo 4

Para ganhar intuição, veja um exemplo numérico rápido (apenas para conferir): tome x=3 e y=1 (satisfazendo x-y\neq0). O numerador dá 3^{2}\cdot1 - 3\cdot1^{2} = 9 - 3 = 6, o denominador é 3-1=2, então a fração vale 6/2=3. O produto xy é 3\cdot1=3. Confere com a simplificação feita.

Resposta

xy

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