Simplifique as expressões:
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão
Informações dadas:
- A expressão envolve
e . - Há uma fração
elevada a (ou seja, invertida) e multiplicada por .
O que será feito: vamos identificar identidades algébricas úteis, simplificar a fração, aplicar a operação de inversão (expoente
) e então simplificar o produto final; por fim, discutiremos as restrições de existência (valores de
e
que tornam a expressão indefinida).
Passo 2
Lembrete importante (identidade algébrica) — diferença de quadrados:
Explicando: a expressão
sempre se factoriza como o produto de
por
. Isso é útil quando aparece uma razão com
no denominador, porque pode ocorrer cancelamento.
Passo 3
Aplicando a identidade ao numerador da fração:
Aqui usamos a fatoração do Passo 2. Observe que essa escrita é válida quando o denominador original existe, ou seja, quando
.
Passo 4
Cancelamento da fator comum
:
Explicando a regra: se um fator aparece no numerador e no denominador, e esse fator é diferente de zero, pode-se simplificá-lo (cancelá-lo). Não se pode cancelar quando o fator é zero porque aí a fração não está definida.
Passo 5
Agora substituímos o resultado no início, lembrando que havia um expoente
:
Explicando o expoente
: para qualquer número ou expressão
diferente de zero,
. Então inverter a fração que virou
dá
, desde que
.
Passo 6
Multiplicamos por
:
Explicação do cancelamento final: multiplicar uma expressão pelo seu recíproco dá
, desde que ambos existam (ou seja, não se esteja dividindo por zero).
Passo 7
Discussão das restrições de existência:
- Se
(isto é, ), a expressão original tem divisão por zero no passo inicial, portanto é indefinida. - Se
(isto é, ), então após a fatoração a fração vale (quando ), e o inverso de não existe; portanto a expressão original também é indefinida. - Conclusão: a simplificação para
é válida somente quando simultaneamente e .