Simplifique as expressões:
\left(\frac{x^{2}-y^{2}}{x-y}\right)^{-1} \cdot(x+y)

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\left(\frac{x^{2}-y^{2}}{x-y}\right)^{-1}\cdot(x+y).
Informações dadas:
  • A expressão envolve x e y.
  • Há uma fração \dfrac{x^{2}-y^{2}}{x-y} elevada a -1 (ou seja, invertida) e multiplicada por (x+y).
O que será feito: vamos identificar identidades algébricas úteis, simplificar a fração, aplicar a operação de inversão (expoente -1) e então simplificar o produto final; por fim, discutiremos as restrições de existência (valores de x e y que tornam a expressão indefinida).

Passo 2

Lembrete importante (identidade algébrica) — diferença de quadrados:
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y).
Explicando: a expressão x^{2}-y^{2} sempre se factoriza como o produto de (x-y) por (x+y). Isso é útil quando aparece uma razão com (x-y) no denominador, porque pode ocorrer cancelamento.

Passo 3

Aplicando a identidade ao numerador da fração:
\frac{x^{2}-y^{2}}{x-y}=\frac{(x-y)(x+y)}{x-y}.
Aqui usamos a fatoração do Passo 2. Observe que essa escrita é válida quando o denominador original existe, ou seja, quando x-y\neq 0.

Passo 4

Cancelamento da fator comum (x-y):
\frac{(x-y)(x+y)}{x-y}=x+y, \quad\text{desde que }x-y\neq 0.
Explicando a regra: se um fator aparece no numerador e no denominador, e esse fator é diferente de zero, pode-se simplificá-lo (cancelá-lo). Não se pode cancelar quando o fator é zero porque aí a fração não está definida.

Passo 5

Agora substituímos o resultado no início, lembrando que havia um expoente -1:
\left(\frac{x^{2}-y^{2}}{x-y}\right)^{-1} = (x+y)^{-1}, \quad\text{para }x-y\neq 0.
Explicando o expoente -1: para qualquer número ou expressão A diferente de zero, A^{-1}=\dfrac{1}{A}. Então inverter a fração que virou x+y (x+y)^{-1}=\dfrac{1}{x+y}, desde que x+y\neq 0.

Passo 6

Multiplicamos por (x+y):
(x+y)^{-1}\cdot(x+y)=\frac{1}{x+y}\cdot(x+y)=1, \quad\text{desde que }x+y\neq 0.
Explicação do cancelamento final: multiplicar uma expressão pelo seu recíproco dá 1, desde que ambos existam (ou seja, não se esteja dividindo por zero).

Passo 7

Discussão das restrições de existência:
  • Se x-y=0 (isto é, x=y), a expressão original tem divisão por zero no passo inicial, portanto é indefinida.
  • Se x+y=0 (isto é, x=-y), então após a fatoração a fração \dfrac{x^{2}-y^{2}}{x-y} vale 0 (quando x\neq y), e o inverso de 0 não existe; portanto a expressão original também é indefinida.
  • Conclusão: a simplificação para 1 é válida somente quando simultaneamente x-y\neq 0 e x+y\neq 0.

Resposta

1 para x\neq y e x+y\neq 0.

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