Simplifique as expressões:
\frac{1}{x+2}+\frac{2}{x-3}-\frac{3 x}{x^{2}-x-6}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a soma/subtração de três frações racionais:
\frac{1}{x+2}+\frac{2}{x-3}-\frac{3x}{x^{2}-x-6}.
Informações relevantes dadas:
  • As três frações dependem da variável x.
  • O denominador da terceira fração é x^{2}-x-6.
    O objetivo é escrever essa expressão como uma única fração mais simples, identificando também os valores de x que não são permitidos (se houver).

Passo 2

Primeiro passo técnico: fatorar o denominador quadrático \,x^{2}-x-6. Para fatorar um polinômio do tipo \,x^{2}+bx+c busca-se dois números que multiplicam para c e somam para b.
Aqui queremos dois números cujo produto é -6 e cuja soma é -1. Esses números são -3 e 2, pois
(-3)\cdot 2=-6,\qquad (-3)+2=-1.
Logo a fatoração é
x^{2}-x-6=(x-3)(x+2).

Passo 3

Explicando a técnica que vamos usar: para somar/subtrair frações com denominadores diferentes é preciso escrevê-las com o mesmo denominador — o mínimo comum denominador. Como o terceiro denominador já é o produto (x-3)(x+2), esse é um bom candidato para o denominador comum. Portanto escolhemos como denominador comum
(x+2)(x-3).
Observação de domínio: quaisquer valores que anulem algum denominador original devem ser excluídos; aqui x\neq -2 e x\neq 3.

Passo 4

Reescrever cada fração sobre o denominador comum (x+2)(x-3).
  • A primeira fração \dfrac{1}{x+2} precisa ser multiplicada por \dfrac{x-3}{x-3} para alcançar o denominador comum:
\frac{1}{x+2}=\frac{x-3}{(x+2)(x-3)}.
  • A segunda fração \dfrac{2}{x-3} precisa ser multiplicada por \dfrac{x+2}{x+2}:
\frac{2}{x-3}=\frac{2(x+2)}{(x+2)(x-3)}.
  • A terceira fração já tem denominador (x+2)(x-3), então fica:
\frac{3x}{x^{2}-x-6}=\frac{3x}{(x+2)(x-3)}.

Passo 5

Agora que todas as frações têm o mesmo denominador, somamos/subtraímos os numeradores sobre esse denominador comum:
\frac{x-3}{(x+2)(x-3)}+\frac{2(x+2)}{(x+2)(x-3)}-\frac{3x}{(x+2)(x-3)} =\frac{(x-3)+2(x+2)-3x}{(x+2)(x-3)}.

Passo 6

Simplificar o numerador passo a passo:
(x-3)+2(x+2)-3x = x-3 + 2x+4 -3x.
Agora somar os termos semelhantes:
  • Coeficiente de x: x+2x-3x = 0.
  • Termos constantes: -3+4 = 1.
Portanto o numerador reduz-se a 1. Assim a expressão combinada é
\frac{1}{(x+2)(x-3)}.

Passo 7

Interpretação final e domínio: a expressão ficou com numerador 1 e denominador (x+2)(x-3). Lembrar que x não pode assumir valores que zerem algum denominador inicial, ou seja x\neq -2 e x\neq 3.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{(x+2)(x-3)}, \;x\neq -2,\;x\neq 3

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