Simplifique as expressōes. Sempre que necessário, suponha que as variáveis sāo positivas e que os denominadores são nāo nulos.
\sqrt[3]{8 x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão \sqrt[3]{8 x^{3}}. As informações relevantes são:
  • A expressão dentro da raiz é 8 x^{3}.
  • Sempre que necessário, podemos supor que a variável x é positiva (isso evita problemas de sinal ao manipular potências fracionárias).
    A pergunta é: qual é a forma simplificada (mais simples) de \sqrt[3]{8 x^{3}}?

Passo 2

Vamos lembrar algumas propriedades úteis de radicais e potências (isto é a teoria que precisamos para a prova, explicada de forma direta):
  • A raiz enésima pode ser escrita como potência fracionária: \sqrt[n]{a}=a^{1/n}. No nosso caso, a raiz cúbica é \sqrt[3]{\; \cdot \;} = (\cdot)^{1/3}.
  • Produto dentro da potência: (ab)^{r}=a^{r}b^{r} para quaisquer números (sob as hipóteses usuais sobre sinais). Isso permite separar fatores dentro da raiz.
  • Potência de potência: (a^{m})^{n}=a^{mn}. Em particular, (x^{3})^{1/3}=x^{3\cdot(1/3)}=x^{1}=x.
    Essas três regras são as que vamos usar.

Passo 3

Reescrevo a raiz cúbica como potência fracionária:
\sqrt[3]{8 x^{3}} = (8 x^{3})^{1/3}.

Passo 4

Uso a propriedade do produto dentro da potência para separar os fatores 8 e x^{3}:
(8 x^{3})^{1/3} = 8^{1/3} \cdot (x^{3})^{1/3}.
Aqui apliquei (ab)^{r}=a^{r}b^{r} com a=8, b=x^{3} e r=1/3.

Passo 5

Calculo cada fator separado:
  • Para 8^{1/3}: como 8=2^{3}, tem-se 8^{1/3}=(2^{3})^{1/3}=2^{3\cdot(1/3)}=2^{1}=2.
  • Para (x^{3})^{1/3}: pela regra de potência de potência, (x^{3})^{1/3}=x^{3\cdot(1/3)}=x^{1}=x.
    Portanto
8^{1/3} \cdot (x^{3})^{1/3} = 2 \cdot x.

Passo 6

Como alternativa rápida (útil na prova): reconhecer que 8x^{3}=(2x)^{3}, porque (2x)^{3}=2^{3}x^{3}=8x^{3}. Então \sqrt[3]{8x^{3}}=\sqrt[3]{(2x)^{3}}=2x — a raiz cúbica anula a potência cúbica.

Resposta

2x

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