Simplifique \frac{f(x+h)-f(x)}{h}(h \neq 0) para f(x) igual a:
12) \frac{1}{3 x+1}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a diferença quociente
\frac{f(x+h)-f(x)}{h},\quad h\neq0,
sendo f(x)=\tfrac{1}{3x+1}. Vamos usar álgebra de frações: calcular f(x+h), fazer a subtração como uma única fração, dividir por h e cancelar fatores comuns.

Passo 2

Primeiro, calculamos
f(x+h)=\frac{1}{3(x+h)+1}=\frac{1}{3x+3h+1}.

Passo 3

Agora formamos a diferença
f(x+h)-f(x) =\frac{1}{3x+3h+1}-\frac{1}{3x+1} =\frac{(3x+1)-(3x+3h+1)}{(3x+3h+1)(3x+1)} =\frac{-3h}{(3x+3h+1)(3x+1)}.

Passo 4

Dividindo por h e cancelando o fator h (já que h\neq0), obtemos
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\frac{-3h}{(3x+3h+1)(3x+1)}\cdot\frac{1}{h} =-\frac{3}{(3x+3h+1)(3x+1)}.

Resposta

-\frac{3}{(3x+1)(3x+3h+1)}.

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