Simplifique \frac{f(x+h)-f(x)}{h}(h \neq 0) para f(x) igual a:
15) \frac{x-3}{5-2 x}

Passo 1

Temos a função
f(x)=\frac{x-3}{5-2x}
e queremos simplificar o quociente de diferença
\frac{f(x+h)-f(x)}{h},\quad h\neq0.
Iremos calcular f(x+h), fazer a diferença de frações, juntar denominadores, e depois dividir por h.

Passo 2

Substituindo x por x+h em f, obtemos
f(x+h)=\frac{(x+h)-3}{5-2(x+h)} =\frac{x+h-3}{5-2x-2h}.
Mantemos também
f(x)=\frac{x-3}{5-2x}.

Passo 3

O numerador do quociente de diferença é
f(x+h)-f(x) =\frac{x+h-3}{5-2x-2h}-\frac{x-3}{5-2x}.
Para subtrair, colocamos sobre o mesmo denominador (5-2x-2h)(5-2x):
f(x+h)-f(x) =\frac{(x+h-3)(5-2x)-(x-3)(5-2x-2h)}{(5-2x-2h)(5-2x)}.

Passo 4

Expandindo o numerador:
(x+h-3)(5-2x)=(x-3)(5-2x)+h(5-2x),
(x-3)(5-2x-2h)=(x-3)(5-2x)-2h(x-3).
Logo,
(x+h-3)(5-2x)-(x-3)(5-2x-2h) =h(5-2x)+2h(x-3) =h\bigl[(5-2x)+2(x-3)\bigr] =h(5-2x+2x-6) =-h.
Então
f(x+h)-f(x) =\frac{-h}{(5-2x-2h)(5-2x)}.

Passo 5

Finalmente, dividindo por h:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\frac{-h}{h\,(5-2x-2h)(5-2x)} =-\frac{1}{(5-2x-2h)(5-2x)}.

Resposta

\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =-\frac{1}{(5-2x-2h)(5-2x)}.

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