Simplifique:
\frac{x^{2(x+1)}}{(2 x)^{x}+x^{2 x}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{x^{2(x+1)}}{(2x)^{x}+x^{2x}}.
O conteúdo envolvido é manipulação de potências e fatoração de termos comuns em somas de potências.

Passo 2

Primeiro reescrevemos o expoente do numerador:
x^{2(x+1)} \;=\; x^{2x+2} \;=\; x^{2x}\,\cdot x^2.

Passo 3

Agora analisamos o denominador:
(2x)^{x} + x^{2x} \;=\; (2^{x}\,x^{x}) \;+\; x^{2x}.

Passo 4

Fatoramos o termo comum x^{x} no denominador:
2^{x}\,x^{x} + x^{2x} \;=\; x^{x}\bigl(2^{x} + x^{x}\bigr).

Passo 5

Substituindo no quociente e cancelando x^{x}:
\frac{x^{2x}\,x^2}{x^{x}\bigl(2^{x}+x^{x}\bigr)} = \frac{x^{2x}}{x^{x}}\;\cdot\;\frac{x^2}{2^{x}+x^{x}} = x^{x}\,\frac{x^2}{x^{x}+2^{x}} = \frac{x^{x+2}}{x^{x}+2^{x}}.
Uma forma ainda mais compacta é dividir numerador e denominador por x^{x}, obtendo
\frac{x^2}{1+\bigl(2/x\bigr)^{x}}.

Resposta

\frac{x^{x+2}}{x^{x}+2^{x}} \quad\text{ou equivalently}\quad \frac{x^2}{1+(2/x)^{x}}.

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