Simplifique:
\frac{\frac{x+1}{y}}{\frac{x+\frac{1}{y}}{x+1}-\frac{x y+x}{x y+1}+1}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{\frac{x+1}{y}}{\frac{x+\frac{1}{y}}{x+1}-\frac{x y+x}{x y+1}+1}.
O conteúdo principal é manipulação de frações algébricas; vamos reescrever cada fração interna e depois combinar termos.

Passo 2

Definimos
A = \frac{x+\tfrac{1}{y}}{x+1}, \quad B = \frac{x y + x}{x y + 1},
para reescrever o denominador como
D = A - B + 1.
Primeiro simplificamos A e B de forma explícita:
A = \frac{x + \frac{1}{y}}{x+1} = \frac{\frac{xy+1}{y}}{x+1} = \frac{xy+1}{y\,(x+1)},
B = \frac{x y + x}{x y + 1} = \frac{x(y+1)}{x y + 1}.

Passo 3

Agora escrevemos
D = \frac{xy+1}{y(x+1)} \;-\; \frac{x(y+1)}{xy+1} \;+\; 1.
Juntamos o primeiro termo com o +1:
1 + \frac{xy+1}{y(x+1)} = \frac{y(x+1) + (xy+1)}{y(x+1)} = \frac{2xy + y + 1}{y(x+1)},
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D = \frac{2xy + y + 1}{y(x+1)} \;-\; \frac{x(y+1)}{xy+1}.
Para somar essas duas frações, usamos o denominador comum y(x+1)(xy+1).

Passo 4

Calculamos o numerador comum M:
M = (2xy + y + 1)(xy+1) \;-\; x(y+1)\,y(x+1).
Expandindo:
(2xy+y+1)(xy+1) =2x^2y^2 + x y^2 +3xy + y +1,
x(y+1)\,y(x+1) = x^2y^2 + x^2y + x y^2 + x y,
M = \bigl(2x^2y^2 + x y^2 +3xy + y +1\bigr) -\bigl(x^2y^2 + x^2y + x y^2 + x y\bigr) = x^2y^2 - x^2y +2xy + y +1.
Então
D = \frac{M}{y(x+1)(xy+1)} = \frac{x^2y^2 - x^2y +2xy + y +1}{y(x+1)(xy+1)}.

Passo 5

A expressão original vale
\frac{\frac{x+1}{y}}{D} = \frac{\frac{x+1}{y}}{\displaystyle\frac{M}{y(x+1)(xy+1)}} = \frac{x+1}{y}\;\cdot\;\frac{y(x+1)(xy+1)}{M} = \frac{(x+1)^2\,(xy+1)}{x^2y^2 - x^2y +2xy + y +1}.

Resposta

\frac{(x+1)^2\,(xy+1)}{x^2y^2 \;-\; x^2y \;+\;2xy \;+\;y \;+\;1}.

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