Simplifique a função: f(x)=6 x^2-17 x-14 para f(x)=(2 x-7)(3 x+2)

Passo 1

Beleza, o exercício quer simplificar (ou seja, fatorar) o polinômio
f(x)=6x^2-17x-14
e mostrar que ele vira
f(x)=(2x-7)(3x+2),
O conteúdo aqui é fatoração de trinômio do tipo ax^2+bx+c. Para isso, vamos usar a técnica de “produto-soma”: ache dois números cujo produto seja acdot c e cuja soma seja b.

Passo 2

Primeiro, lembra da teoria: para fatorar ax^2+bx+c, a gente procura dois números m e n tal que
  1. m+n=b
  2. mcdot n=acdot c
    Depois a gente reescreve o termo do meio bx como mx+nx e faz fatoração por agrupamento.

Passo 3

No nosso caso, a=6, b=-17 e c=-14. Então:
acdot c=6cdot(-14)=-84,
Queremos achar m e n com
m+n=-17e mcdot n=-84,

Passo 4

Basta testar pares de fatores de -84 que somem -17. Esses números são -21 e 4, porque
-21+4=-17e(-21)times4=-84,

Passo 5

Agora reescrevemos f(x) dividindo o termo do meio assim:
6x^2-17x-14 = 6x^2 ;-;21x;+;4x;-;14,
Em seguida, agrupamos em dois pares:
(6x^2-21x);+;(4x-14),

Passo 6

Fatorando cada grupo:
  1. No primeiro: 6x^2-21x = 3x,(2x-7).
  2. No segundo: 4x-14 = 2,(2x-7).
    Então temos
3x(2x-7) + 2(2x-7),

Passo 7

Agora colocamos (2x-7) em evidência:
(2x-7),l(3x+2r),

Resposta

boxedf(x)=(2x-7)(3x+2)

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