Simplifique

$\left(A C^{-1}\right)^{-1}\left(A C^{-1}\right)\left(A C^{-1}\right)^{-1} A D^{-1}$

Passo 1

O enunciado pede para simplificar o produto de matrizes

\left(A C^{-1}\right)^{-1}\,\left(A C^{-1}\right)\,\left(A C^{-1}\right)^{-1}\,A\,D^{-1}.

Aqui vamos usar as propriedades de matrizes invertíveis, em especial

$(XY)^{-1}=Y^{-1}X^{-1}$ ,
$X^{-1}X=I$ (identidade),
a associatividade do produto matricial.

Passo 2

Observe que o primeiro e o segundo fatores são inversos um do outro, isto é,

\bigl(A C^{-1}\bigr)^{-1}\,\bigl(A C^{-1}\bigr)=I.

Logo podemos cancelar esses dois fatores, reduzindo a expressão a

\bigl(A C^{-1}\bigr)^{-1}\,A\,D^{-1}.

Passo 3

Aplicando agora a fórmula do inverso de um produto ao fator remanescente, temos

\bigl(A C^{-1}\bigr)^{-1} = \bigl(C^{-1}\bigr)^{-1}A^{-1} = C\,A^{-1}.

Substituindo, a expressão vira

C\,A^{-1}\,A\,D^{-1}.

Passo 4

No produto acima,

A^{-1}A=I

. Portanto

C\,A^{-1}\,A\,D^{-1} = C\,I\,D^{-1} = C\,D^{-1}.

Resposta

\;C\,D^{-1}

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