Escreva a equação de uma reta perpendicular ao plano $\pi_{1}: 2 x-4 y+2 z-4=0$

Passo 1

O enunciado pede uma reta perpendicular ao plano

\pi_{1}:2x-4y+2z-4=0

.
Conteúdo: geometria analítica no espaço.
Para isso precisaremos do vetor normal ao plano (que será a direção da reta) e de um ponto que pertença ao plano.

Passo 2

Extraímos o vetor normal

\mathbf{n}

do plano a partir dos coeficientes de

x,y,z

\mathbf{n} = (2,\,-4,\,2).

Uma reta perpendicular ao plano terá exatamente esse vetor como seu vetor diretor.

Passo 3

Precisamos de um ponto

P_{0}

que satisfaça a equação do plano.
Escolhemos o eixo

z

impondo

x=0

y=0

.
Na equação do plano:

2\cdot0 \;-\;4\cdot0\;+\;2z\;-\;4=0 \quad\Longrightarrow\quad 2z=4 \quad\Longrightarrow\quad z=2.

Logo,

P_{0}=(0,0,2)

pertence a

\pi_{1}

Passo 4

Agora escrevemos a reta

\ell

que passa por

P_{0}

e tem direção

\mathbf{n}

.
Em forma paramétrica:

\begin{cases} x = 0 + 2t,\\\ y = 0 - 4t,\\\ z = 2 + 2t, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.

Em forma simétrica:

\frac{x-0}{2} \;=\;\frac{y-0}{-4}\;=\;\frac{z-2}{2}.

Resposta

Em forma paramétrica:

\ell:\;\begin{cases} x=2t,\\\ y=-4t,\\\ z=2+2t, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.

Ou, de modo equivalente, em forma simétrica:

\frac{x}{2}=\frac{y}{-4}=\frac{z-2}{2}.

Escreva a equação de uma reta perpendicular ao plano \pi_{1}: 2 x-4 y+2 z-4=0