Simplifique ao máximo as expressões:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para simplificar a expressão booleana $ x = A \overline{B} C + \overline{A} B C + \overline{A} \cdot \overline{B} C $. Vamos trabalhar com álgebra booleana, que é essencial para simplificar expressões lógicas usando regras específicas.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que todas as partes da expressão têm o termo $ C $ em comum. Isso significa que podemos fatorar o $ C $ para simplificar a expressão. Ficaria assim:
Passo 3
Agora, vamos focar na parte dentro dos parênteses: $ A \overline{B} + \overline{A} B + \overline{A} \overline{B} $. Vamos ver se conseguimos simplificar isso.
Passo 4
Vamos agrupar os dois primeiros termos: $ A \overline{B} + \overline{A} B $. Isso é uma forma conhecida chamada “XOR” (ou exclusivo), que pode ser representada como $ A \oplus B $. Mas, para simplificar usando álgebra booleana, podemos rearranjar:
Passo 5
Agora, adicionamos o terceiro termo $ \overline{A} \overline{B} $ à expressão:
Passo 6
Expandindo a expressão:
Sabemos que $ A \overline{A} = 0 $ e $ B \overline{B} = 0 $, então:
Passo 7
Perceba que $ A \overline{B} + \overline{A} \overline{B} = \overline{B} (A + \overline{A}) $. Como $ A + \overline{A} = 1 $, isso se simplifica para $ \overline{B} $. Então:
Passo 8
Agora, fatoramos $ \overline{A} $:
Isso pode ser reescrito como:
E, novamente, aplicando a propriedade distributiva:
Passo 9
Voltando à expressão original, substituímos o que simplificamos:
Resposta
A expressão simplificada é $ x = C \overline{B} $.