a) Simule um circuito RLC paralelo com os seguintes dados: \mathrm{R}=50 \Omega, \mathrm{L}=10 \mathrm{H} e \mathrm{C}=1 \mathrm{mF} e condições iniciais iL(0)=2 A e vL(0)=10[V] excitado por uma fonte de corrente de I=1 [A].
  1. Calcule a corrente através do indutor e verifique os resultados através de simulações.
  2. Troque o resistor para R=25[\Omega] e recalcule a corrente. Refaça as simulações
  3. Faça o mesmo para R=100[\Omega].
  4. O que se pode dizer sobre o comportamento do circuito à medida que se aumenta o valor da resistência.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e todos os dados fornecidos.
  • Dados do circuito (pego do enunciado):
    • R inicialmente =50\\ \Omega (depois trocar para 25\\ \Omega e 100\\ \Omega);
    • L=10\\ \mathrm{H};
    • C=1\\ \mathrm{mF}=1\times10^{-3}\\ \mathrm{F};
    • fonte de corrente independente I=1\\ \mathrm{A};
    • condições iniciais: i_L(0)=2\\ \mathrm{A} e v_L(0)=10\\ \mathrm{V}.
  • Perguntas:
    1. Calcular a corrente através do indutor i_L(t) e verificar (por simulação) os resultados.
    2. Repetir o cálculo para R=25\\ \Omega e refazer as simulações.
    3. Repetir para R=100\\ \Omega.
    4. Descrever o comportamento do circuito à medida que a resistência aumenta.
A partir daqui eu desenvolvo a resolução passo a passo.

Passo 2

Montagem das equações do circuito e dedução da equação diferencial para i_L(t).
  • Em paralelo temos a fonte de corrente I dividindo-se em i_R (resistor), i_C (capacitor) e i_L (indutor). A lei de correntes (KCL) no nó paralelo dá:
I = i_R + i_C + i_L.
  • Relações dos elementos:
    • i_R=\dfrac{v}{R}, onde v é a tensão comum aos três elementos.
    • i_C = C\,\dfrac{dv}{dt}.
    • Para o indutor v = L\,\dfrac{di_L}{dt}.
  • Substituindo v=L\,\dfrac{di_L}{dt} nas expressões de i_R e i_C e usando KCL:
I = \frac{L}{R}\frac{di_L}{dt} + C L \frac{d^2 i_L}{dt^2} + i_L.
  • Colocando na forma padrão (dividindo por L C):
\frac{d^2 i_L}{dt^2} + \frac{1}{R C}\frac{d i_L}{dt} + \frac{1}{L C} i_L = \frac{I}{L C}.
Essa é a equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea que vamos resolver para i_L(t).

Passo 3

Calcular parâmetros naturais do circuito e condições iniciais necessárias.
  • Constantes numéricas:
L C = 10\cdot 1\times10^{-3} = 0,01.
\omega_n = \sqrt{\frac{1}{L C}} = \sqrt{\frac{1}{0{,}01}} = 10\\ \text{rad/s}.
  • O coeficiente da derivada primeira é \dfrac{1}{R C} = \dfrac{1000}{R}. Em termos de razão de amortecimento \zeta (damping ratio):
2\zeta \omega_n = \frac{1}{R C} \quad\Rightarrow\quad \zeta = \frac{1}{2\omega_n R C} = \frac{50}{R}.
Comentário rápido: o tipo de resposta (sobreamortecido / crítico / subamortecido) depende de \zeta:
  • \zeta>1 overdamped,
  • \zeta=1 crítico,
  • \zeta<1 underdamped (oscilações amortecidas).
  • Condições iniciais: já temos i_L(0)=2\\ \mathrm{A}. A derivada inicial \left.\dfrac{di_L}{dt}\right|_{0} pode ser obtida da tensão inicial no indutor:
v_L(0)=10\\ \mathrm{V}=L\left.\frac{di_L}{dt}\right|_{0}\quad\Rightarrow\quad \left.\frac{di_L}{dt}\right|_{0}=\frac{10}{10}=1\\ \mathrm{A/s}.
  • A solução particular (regime permanente quando as derivadas valem zero) é constante i_{L,\infty} que satisfaz i_{L,\infty}=I=1\\ \mathrm{A}. Logo a resposta completa será:
i_L(t)=1 + i_{h}(t),
onde i_h é a solução homogênea que depende de R.

Passo 4

Caso R=50\\ \Omega (caso crítico: \zeta = 50/50 = 1) — resolver a ODE.
  • Para \zeta=1 (crítico) a solução homogênea tem a forma
i_h(t) = (A + B t)e^{-\omega_n t} = (A + B t)e^{-10 t}.
  • Usando as condições iniciais:
    • t=0: i_L(0)=1 + A = 2 \Rightarrow A=1.
    • derivada (usar produto):
\frac{di_L}{dt} = \frac{d}{dt}\big[1 + (A + B t)e^{-10 t}\big] = \big(B -10(A + B t)\big)e^{-10 t}.
No instante t=0:
\left.\frac{di_L}{dt}\right|_0 = B -10A = 1.
Com A=1 obtemos B -10 =1 \Rightarrow B=11.
  • Solução final para R=50\\ \Omega:
\boxed{\,i_L(t)=1 + \big(1 + 11\,t\big)e^{-10 t}\,}
(Essa expressão satisfaz i_L(0)=2 e \left.\dfrac{di_L}{dt}\right|_0=1.)

Passo 5

Caso R=25\\ \Omega (overdamped: \zeta = 50/25 = 2 >1) — resolver a ODE.
  • Coeficientes numéricos da característica:
\text{equação característica: } s^2 + \frac{1}{R C}s + \frac{1}{L C} = 0 \quad\Rightarrow\quad s^2 + 40 s +100 =0,çãí
pois \dfrac{1}{R C}=\dfrac{1000}{25}=40 e \dfrac{1}{L C}=100.
  • Raízes:
s_{1,2} = \frac{-40 \pm \sqrt{40^2 - 4\cdot100}}{2} = \frac{-40 \pm \sqrt{1200}}{2} = -20 \pm 10\sqrt{3}.
Note que as duas raízes são reais e negativas (overdamped).
  • Solução geral:
i_L(t)=1 + A e^{s_1 t} + B e^{s_2 t}.
  • Determinar A e B pelas condições iniciais:
    • t=0: 1 + A + B = 2 \Rightarrow A + B =1.
    • derivada no instante zero:
\left.\frac{di_L}{dt}\right|_0 = A s_1 + B s_2 = 1.
Resolver o sistema (Cramer) dá:
A = \frac{s_2 - 1}{s_2 - s_1},\qquad B = \frac{1 - s_1}{s_2 - s_1}.
  • Substituindo s_1 = -20 +10\sqrt{3} e s_2 = -20 -10\sqrt{3} obtém-se (formas exatas) e, numericamente:
s_1\approx -2{,}6795,\qquad s_2\approx -37{,}3205,
A\approx 1{,}1062,\qquad B\approx -0{,}1062.
  • Solução aproximada (prática para simulação/verificação):
\boxed{\,i_L(t)\approx 1 + 1{,}1062\,e^{-2{,}6795\,t} -0{,}1062\,e^{-37{,}3205\,t}\,}.
(Se quiser a forma exata, manter s_1,s_2 com 10\sqrt{3} nas expressões de A,B.)

Passo 6

Caso R=100\\ \Omega (underdamped: \zeta = 50/100 = 0{,}5 <1) — resolver a ODE.
  • Coeficientes numéricos:
\frac{1}{R C}=\frac{1000}{100}=10,
característica:
s^2 + 10 s + 100 =0.
Discriminante negativo, raízes complexas:
s = -5 \pm j\,\omega_d,\qquad \omega_d = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}\\ \text{rad/s}.
  • Solução em forma real:
i_L(t)=1 + e^{-5 t}\big(C\cos(\omega_d t) + D\sin(\omega_d t)\big).
  • Usar condições iniciais:
    • t=0: 1 + C = 2 \Rightarrow C=1.
    • derivada no t=0:
\left.\frac{di_L}{dt}\right|_0 = -5C + D\omega_d = 1.
Com C=1 e \omega_d=5\sqrt{3} obtemos:
-5 + D\cdot 5\sqrt{3} = 1 \quad\Rightarrow\quad D = \frac{6}{5\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{5}.
  • Solução final:
\boxed{\,i_L(t)=1 + e^{-5 t}\left(\cos\big(5\sqrt{3}\,t\big) + \frac{2\sqrt{3}}{5}\sin\big(5\sqrt{3}\,t\big)\right)\,}.
Observação: aqui aparecem oscilações amortecidas, com frequência amortecida \omega_d=5\sqrt{3}\approx 8{,}6603\\ \text{rad/s} e envoltória e^{-5 t}.

Passo 7

Como verificar por simulação (passos práticos e o que esperar)
  • O que observar nas simulações (por exemplo no SPICE, LTspice, Multisim ou MATLAB/Simulink):
    • Modelar um ramo paralelo com um indutor L=10\\ \mathrm{H}, capacitor C=1\\ \mathrm{mF} e resistor R conectado em paralelo com uma fonte de corrente DC I=1\\ \mathrm{A}.
    • Inicializar o indutor com corrente i_L(0)=2\\ \mathrm{A} e o capacitor com tensão v_C(0)=10\\ \mathrm{V}. Em SPICE tipicamente se usa a diretiva .IC para a tensão do nó do capacitor e um elemento que define corrente inicial no indutor (ou usar fonte de corrente com condição inicial). Em MATLAB/Simulink é direto definir condições iniciais do bloco indutor/capacitor.
    • Simular resposta no tempo (transiente) e comparar a curva resultante de i_L(t) com as expressões analíticas dadas acima.
  • O que se deve ver nos resultados:
    • Para R=25\\ \Omega: resposta sem oscilações (overdamped), dois decaimentos exponenciais rápidos; i_L decai monotonicamente de 2 A para 1 A.
    • Para R=50\\ \Omega: decaimento crítico (sem oscilações) com termo (1+11t)e^{-10t}.
    • Para R=100\\ \Omega: oscilações amortecidas com frequência \approx 8{,}66\\ \text{rad/s} e envelope e^{-5t}; amplitude decai exponencialmente e o valor médio tende a 1\\ \mathrm{A}.
    • Em todas os casos, i_L(t)\to 1\\ \mathrm{A} quando t\to\infty, conforme a solução particular.

Passo 8

Interpretação física: o que acontece quando R aumenta
  • A frequência natural do par L C é fixada por \omega_n=\sqrt{1/(L C)}=10\\ \mathrm{rad/s} e não depende de R.
  • O que muda com R é a razão de amortecimento \zeta=\dfrac{50}{R}:
    • Para R<50\\ \Omega tem \zeta>1 (overdamped) — sem oscilações, o sistema volta à condição de equilíbrio de maneira monótona.
    • Para R=50\\ \Omega tem \zeta=1 (crítico) — retorno mais rápido sem oscilações, caso limite entre os dois tipos.
    • Para R>50\\ \Omega tem \zeta<1 (underdamped) — surgem oscilações amortecidas; quanto maior R, menor \zeta (menos amortecimento), logo as oscilações são mais pronunciadas e decaem mais lentamente.
  • Limites físicos:
    • Se R\to\infty (resistor afastado), não há perda resistiva e o circuito ideal LC oscilaria indefinidamente (no modelo ideal). Com um resistor finito as oscilações decaem.
  • Em resumo: aumentar R reduz o amortecimento => transiente passa de monotônico (overdamped) para oscilatório (underdamped), a taxa de decaimento do envelope diminui e as oscilações tornam-se visíveis.

Resposta

R=50\ \Omega:\quad i_L(t)=1 + \big(1 + 11\,t\big)e^{-10 t}.
R=25\ \Omega:\quad i_L(t)=1 + A e^{(-20+10\sqrt{3})t} + B e^{(-20-10\sqrt{3})t}, with
A=\frac{s_2-1}{s_2-s_1},\quad B=\frac{1-s_1}{s_2-s_1},\quad s_{1,2}=-20\pm10\sqrt{3},
numericamente i_L(t)\approx 1 + 1{,}1062\,e^{-2{,}6795\,t} -0{,}1062\,e^{-37{,}3205\,t}.
R=100\ \Omega:\quad i_L(t)=1 + e^{-5 t}\Big(\cos(5\sqrt{3}\,t) + \dfrac{2\sqrt{3}}{5}\sin(5\sqrt{3}\,t)\Big).
Comportamento ao aumentar R: a frequência natural \omega_n=10\\ \mathrm{rad/s} é fixa; aumentar R reduz o amortecimento ( \zeta=50/R), deslocando o circuito de overdamped ( R<50) → crítico ( R=50) → underdamped ( R>50); para R grande surgem oscilações amortecidas com decaimento mais lento.

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