a) Simule um circuito RLC paralelo com os seguintes dados: \mathrm{R}=50 \Omega, \mathrm{L}=10 \mathrm{H} e \mathrm{C}=1 \mathrm{mF} e condições iniciais iL(0)=2 A e vL(0)=10[V] excitado por uma fonte de corrente de I=1 [A].
Calcule a corrente através do indutor e verifique os resultados através de simulações.
Troque o resistor para R=25[\Omega] e recalcule a corrente. Refaça as simulações
Faça o mesmo para R=100[\Omega].
O que se pode dizer sobre o comportamento do circuito à medida que se aumenta o valor da resistência.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e todos os dados fornecidos.
Dados do circuito (pego do enunciado):
R inicialmente =50\\ \Omega (depois trocar para 25\\ \Omega e 100\\ \Omega);
L=10\\ \mathrm{H};
C=1\\ \mathrm{mF}=1\times10^{-3}\\ \mathrm{F};
fonte de corrente independente I=1\\ \mathrm{A};
condições iniciais: i_L(0)=2\\ \mathrm{A} e v_L(0)=10\\ \mathrm{V}.
Perguntas:
Calcular a corrente através do indutor i_L(t) e verificar (por simulação) os resultados.
Repetir o cálculo para R=25\\ \Omega e refazer as simulações.
Repetir para R=100\\ \Omega.
Descrever o comportamento do circuito à medida que a resistência aumenta.
A partir daqui eu desenvolvo a resolução passo a passo.
Passo 2
Montagem das equações do circuito e dedução da equação diferencial para i_L(t).
Em paralelo temos a fonte de corrente I dividindo-se em i_R (resistor), i_C (capacitor) e i_L (indutor). A lei de correntes (KCL) no nó paralelo dá:
I = i_R + i_C + i_L.
Relações dos elementos:
i_R=\dfrac{v}{R}, onde v é a tensão comum aos três elementos.
i_C = C\,\dfrac{dv}{dt}.
Para o indutor v = L\,\dfrac{di_L}{dt}.
Substituindo v=L\,\dfrac{di_L}{dt} nas expressões de i_R e i_C e usando KCL:
I = \frac{L}{R}\frac{di_L}{dt} + C L \frac{d^2 i_L}{dt^2} + i_L.
A solução particular (regime permanente quando as derivadas valem zero) é constante i_{L,\infty} que satisfaz i_{L,\infty}=I=1\\ \mathrm{A}. Logo a resposta completa será:
i_L(t)=1 + i_{h}(t),
onde i_h é a solução homogênea que depende de R.
Passo 4
Caso R=50\\ \Omega (caso crítico: \zeta = 50/50 = 1) — resolver a ODE.
Para \zeta=1 (crítico) a solução homogênea tem a forma
i_h(t) = (A + B t)e^{-\omega_n t} = (A + B t)e^{-10 t}.
Usando as condições iniciais:
t=0: i_L(0)=1 + A = 2 \Rightarrow A=1.
derivada (usar produto):
\frac{di_L}{dt} = \frac{d}{dt}\big[1 + (A + B t)e^{-10 t}\big] = \big(B -10(A + B t)\big)e^{-10 t}.
Observação: aqui aparecem oscilações amortecidas, com frequência amortecida \omega_d=5\sqrt{3}\approx 8{,}6603\\ \text{rad/s} e envoltória e^{-5 t}.
Passo 7
Como verificar por simulação (passos práticos e o que esperar)
O que observar nas simulações (por exemplo no SPICE, LTspice, Multisim ou MATLAB/Simulink):
Modelar um ramo paralelo com um indutor L=10\\ \mathrm{H}, capacitor C=1\\ \mathrm{mF} e resistor R conectado em paralelo com uma fonte de corrente DC I=1\\ \mathrm{A}.
Inicializar o indutor com corrente i_L(0)=2\\ \mathrm{A} e o capacitor com tensão v_C(0)=10\\ \mathrm{V}. Em SPICE tipicamente se usa a diretiva .IC para a tensão do nó do capacitor e um elemento que define corrente inicial no indutor (ou usar fonte de corrente com condição inicial). Em MATLAB/Simulink é direto definir condições iniciais do bloco indutor/capacitor.
Simular resposta no tempo (transiente) e comparar a curva resultante de i_L(t) com as expressões analíticas dadas acima.
O que se deve ver nos resultados:
Para R=25\\ \Omega: resposta sem oscilações (overdamped), dois decaimentos exponenciais rápidos; i_L decai monotonicamente de 2 A para 1 A.
Para R=50\\ \Omega: decaimento crítico (sem oscilações) com termo (1+11t)e^{-10t}.
Para R=100\\ \Omega: oscilações amortecidas com frequência \approx 8{,}66\\ \text{rad/s} e envelope e^{-5t}; amplitude decai exponencialmente e o valor médio tende a 1\\ \mathrm{A}.
Em todas os casos, i_L(t)\to 1\\ \mathrm{A} quando t\to\infty, conforme a solução particular.
Passo 8
Interpretação física: o que acontece quando R aumenta
A frequência natural do par L–C é fixada por \omega_n=\sqrt{1/(L C)}=10\\ \mathrm{rad/s} e não depende de R.
O que muda com R é a razão de amortecimento \zeta=\dfrac{50}{R}:
Para R<50\\ \Omega tem \zeta>1 (overdamped) — sem oscilações, o sistema volta à condição de equilíbrio de maneira monótona.
Para R=50\\ \Omega tem \zeta=1 (crítico) — retorno mais rápido sem oscilações, caso limite entre os dois tipos.
Para R>50\\ \Omega tem \zeta<1 (underdamped) — surgem oscilações amortecidas; quanto maior R, menor \zeta (menos amortecimento), logo as oscilações são mais pronunciadas e decaem mais lentamente.
Limites físicos:
Se R\to\infty (resistor afastado), não há perda resistiva e o circuito ideal LC oscilaria indefinidamente (no modelo ideal). Com um resistor finito as oscilações decaem.
Em resumo: aumentar R reduz o amortecimento => transiente passa de monotônico (overdamped) para oscilatório (underdamped), a taxa de decaimento do envelope diminui e as oscilações tornam-se visíveis.
Comportamento ao aumentar R: a frequência natural \omega_n=10\\ \mathrm{rad/s} é fixa; aumentar R reduz o amortecimento (\zeta=50/R), deslocando o circuito de overdamped (R<50) → crítico (R=50) → underdamped (R>50); para R grande surgem oscilações amortecidas com decaimento mais lento.