Simule um circuito RLC em série com \mathrm{R}=280[\Omega], \mathrm{L}=100[\mathrm{mH}] e \mathrm{C}= 0.4[\mu \mathrm{~F}] excitado por uma fonte de tensão contínua de \mathrm{E}=48[\mathrm{~V}]. A tensão inicial no capacitor bem como a corrente no indutor são nulas.
  1. Determine a tensão sobre o capacitor \mathrm{v}_{\mathrm{C}}(\mathrm{t}).Apresente os cálculos.
  2. De acordo com as simulações que tipo de resposta esse circuito apresenta?

Passo 1

O enunciado dá um circuito série RLC alimentado por uma fonte contínua e pede duas coisas:
  • (1) Determinar a tensão sobre o capacitor \mathrm{v_C}(t) para t\ge 0, sabendo que as condições iniciais são nulas.
  • (2) Dizer, de acordo com as simulações, que tipo de resposta o circuito apresenta.
Dados numéricos fornecidos:
R=280\\ \Omega,\qquad L=100\\ \mathrm{mH}=0{,}1\\ \mathrm{H},\qquad C=0{,}4\\ \mu\mathrm{F}=0{,}4\times10^{-6}\\ \mathrm{F},
E=48\\ \mathrm{V},\qquad v_C(0)=0,\qquad i_L(0)=0.

Passo 2

Vamos obter a equação diferencial que rege \mathrm{v_C}(t).
Usamos i(t)=C\,\dfrac{d v_C}{dt} (porque i=C\,v_C') e a lei de Kirchhoff de tensões no laço série:
L\frac{di}{dt}+R i+v_C(t)=E.
Substituindo i=C v_C' e \dfrac{di}{dt}=C v_C'' obtemos:
L C\,v_C''(t)+R C\,v_C'(t)+v_C(t)=E.
Dividindo por L C obtemos a forma padrão:
v_C''(t)+\frac{R}{L}\,v_C'(t)+\frac{1}{L C}\,v_C(t)=\frac{E}{L C}.
Aqui \dfrac{R}{L} é o coeficiente de amortecimento (duas vezes a constante \alpha) e \dfrac{1}{LC} é \omega_0^2, a frequência natural ao quadrado.

Passo 3

Calculemos os parâmetros numéricos importantes:
Primeiro a frequência natural:
\omega_0=\frac{1}{\sqrt{L C}} =\frac{1}{\sqrt{0{,}1\cdot 0{,}4\times10^{-6}}} =\frac{1}{\sqrt{4\times10^{-8}}} =\frac{1}{2\times10^{-4}}=5000\\ \mathrm{rad/s}.
A constante de amortecimento \alpha (metade do coeficiente de v_C') é
\alpha=\frac{R}{2L}=\frac{280}{2\cdot0{,}1}=\frac{280}{0{,}2}=1400\\ \mathrm{s^{-1}}.
A razão de amortecimento (adimensional) é
\zeta=\frac{\alpha}{\omega_0}=\frac{1400}{5000}=0{,}28.
Como \zeta<1, o circuito é subamortecido (ou seja, resposta oscilatória amortecida).
A frequência amortecida (frequência de oscilação) é
\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}=\sqrt{5000^2-1400^2}=\sqrt{25{,}000{,}000-1{,}960{,}000}=\sqrt{23{,}040{,}000}=4800\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Encontramos a solução particular (regime permanente). Como o termo da direita é constante, procuramos \,v_{p}= constante; substituindo em
L C v_p''+R C v_p'+v_p=E
os termos com derivadas anulam-se e obtemos v_p=E. Físicamente, em regime permanente CC a corrente tende a zero (capacitor em circuito aberto) e toda a tensão da fonte aparece no capacitor, logo v_C(\infty)=E.

Passo 5

A solução geral é a soma da particular com a solução da homogênea. A equação homogênea tem raízes complexas conjugadas -\alpha\pm j\omega_d, então a solução homogênea é
v_h(t)=e^{-\alpha t}\big(C_1\cos(\omega_d t)+C_2\sin(\omega_d t)\big).
Portanto a solução geral é
v_C(t)=E+e^{-\alpha t}\big(C_1\cos(\omega_d t)+C_2\sin(\omega_d t)\big).

Passo 6

Aplique as condições iniciais para achar C_1 e C_2.
Primeiro em t=0:
v_C(0)=0 \Rightarrow 0=E+C_1 \Rightarrow C_1=-E=-48.
Para a derivada, usamos i(t)=C v_C'(t) e i(0)=0, logo v_C'(0)=0.
Calcule v_C'(t) a partir da solução geral:
v_C'(t)= -\alpha e^{-\alpha t}\big(C_1\cos(\omega_d t)+C_2\sin(\omega_d t)\big) + e^{-\alpha t}\big(-C_1\omega_d\sin(\omega_d t)+C_2\omega_d\cos(\omega_d t)\big).
Em t=0:
v_C'(0)=-\alpha C_1 + \omega_d C_2=0 \quad\Rightarrow\quad C_2=\frac{\alpha}{\omega_d}C_1.
Substituindo C_1=-48, \alpha=1400, \omega_d=4800:
C_2=-48\cdot\frac{1400}{4800}=-48\cdot\frac{7}{24}=-14.

Passo 7

Substituindo os coeficientes encontramos a expressão final para \mathrm{v_C}(t):
\boxed{\,v_C(t)=48 - e^{-1400 t}\big(48\cos(4800 t)+14\sin(4800 t)\big)\\ \mathrm{[V]}\,}
Opcionalmente, escrevendo em forma fatorada:
v_C(t)=48\Big[1-e^{-1400 t}\Big(\cos(4800 t)+\frac{7}{24}\sin(4800 t)\Big)\Big].

Passo 8

Interpretação física e tipo de resposta:
  • Como \zeta=0{,}28<1, a resposta é subamortecida: há oscilações cujo envelope decai exponencialmente com constante de tempo 1/\alpha\approx 7{,}14\times10^{-4}\\ \mathrm{s}.
  • A frequência de oscilação amortecida é \omega_d=4800\\ \mathrm{rad/s}, correspondente a período T_d=\dfrac{2\pi}{\omega_d}\approx 1{,}309\times10^{-3}\\ \mathrm{s} (aprox. 1{,}31\\ \mathrm{ms}) e frequência f_d\approx763{,}9\\ \mathrm{Hz}.
  • O termo exponencial e^{-1400 t} faz as oscilações decaírem para o valor final v_C(\infty)=48\\ \mathrm{V}.

Resposta

v_C(t)=48 - e^{-1400 t}\big(48\cos(4800 t)+14\sin(4800 t)\big)\\ \mathrm{[V]}
Resposta: subamortecida (resposta oscilatória amortecida).

Exercícios relacionados