Simule um circuito RLC em série com
,
e
excitado por uma fonte de tensão contínua de
. A tensão inicial no capacitor bem como a corrente no indutor são nulas.
- Determine a tensão sobre o capacitor
.Apresente os cálculos.
- De acordo com as simulações que tipo de resposta esse circuito apresenta?
Passo 1
O enunciado dá um circuito série RLC alimentado por uma fonte contínua e pede duas coisas:
- (1) Determinar a tensão sobre o capacitor
para , sabendo que as condições iniciais são nulas. - (2) Dizer, de acordo com as simulações, que tipo de resposta o circuito apresenta.
Dados numéricos fornecidos:
Passo 2
Vamos obter a equação diferencial que rege
.
Usamos
(porque
) e a lei de Kirchhoff de tensões no laço série:
Substituindo
e
obtemos:
Dividindo por
obtemos a forma padrão:
Aqui
é o coeficiente de amortecimento (duas vezes a constante
) e
é
, a frequência natural ao quadrado.
Passo 3
Calculemos os parâmetros numéricos importantes:
Primeiro a frequência natural:
A constante de amortecimento
(metade do coeficiente de
) é
A razão de amortecimento (adimensional) é
Como
, o circuito é subamortecido (ou seja, resposta oscilatória amortecida).
A frequência amortecida (frequência de oscilação) é
Passo 4
Encontramos a solução particular (regime permanente). Como o termo da direita é constante, procuramos
constante; substituindo em
os termos com derivadas anulam-se e obtemos
. Físicamente, em regime permanente CC a corrente tende a zero (capacitor em circuito aberto) e toda a tensão da fonte aparece no capacitor, logo
.
Passo 5
A solução geral é a soma da particular com a solução da homogênea. A equação homogênea tem raízes complexas conjugadas
, então a solução homogênea é
Portanto a solução geral é
Passo 6
Aplique as condições iniciais para achar
e
.
Primeiro em
:
Para a derivada, usamos
e
, logo
.
Calcule a partir da solução geral:
Calcule
Em
:
Substituindo
,
,
:
Passo 7
Substituindo os coeficientes encontramos a expressão final para
:
Opcionalmente, escrevendo em forma fatorada:
Passo 8
Interpretação física e tipo de resposta:
- Como
, a resposta é subamortecida: há oscilações cujo envelope decai exponencialmente com constante de tempo . - A frequência de oscilação amortecida é
, correspondente a período (aprox. ) e frequência . - O termo exponencial
faz as oscilações decaírem para o valor final .
Resposta
Resposta: subamortecida (resposta oscilatória amortecida).