Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
Informações dadas e observações iniciais (peguei o número
do enunciado):
- A incógnita é
(procuramos soluções reais). - Há uma raiz quadrada
, logo existe a restrição . - A função cosseno tem imagem em
. - A equação equivalente é procurar
tal que
Passo 2
Entendendo o domínio e uma redução inicial:
- Como
e , uma solução deve satisfazer , ou seja . Portanto qualquer solução real está no intervalo . - Definimos a função
com domínio
. Resolver a equação equivale a encontrar zeros de
em
.
Passo 3
Existência de raiz pelo Teorema do Valor Intermediário (explicando a ideia):
- Calculamos
e para ver se há mudança de sinal (se houver, há pelo menos uma raiz). - Para
:
Aproximação de
usando a série de Taylor curta ou aproximação numérica:
. Logo
- Para
:
Note que
está a uma distância de
de
, então
. Assim
- Como
é contínua em e , pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em .
Passo 4
Unicidade da raiz (porque é importante para saber que o que vamos achar é a única solução):
- A função
é estritamente crescente em . - A função
é estritamente decrescente em , porque sua derivada é e para (já que e nessa faixa seno é positivo). - A diferença de uma função crescente com outra decrescente é estritamente crescente, logo
é estritamente crescente em . - Uma função estritamente crescente pode ter no máximo uma raiz. Como já sabemos que existe pelo menos uma, concluímos que existe exatamente uma raiz em
.
Passo 5
Escolha do método numérico e justificativa rápida:
- Como não existe fórmula fechada simples para resolver
, usamos um método numérico. Vou usar o método da bisseção (seguro e fácil de controlar o erro) até um pequeno intervalo, depois faço uma interpolação para refinar. - O método da bisseção: a cada passo tomamos o ponto médio do intervalo onde a função muda de sinal e reduzimos o intervalo pela metade mantendo a mudança de sinal. Repetimos até obter a precisão desejada.
Passo 6
Aplicando bisseção (vou mostrar as iterações principais, com os valores aproximados de
):
- Inicial: intervalo
, com , . - Iteração 1:
. Mudança de sinal entre e → novo intervalo . - Iteração 2:
. Mudança de sinal entre e → novo intervalo . - Iteração 3:
. Novo intervalo . - Iteração 4:
. Novo intervalo . - Iteração 5:
. Novo intervalo . - Iteração 6:
. Novo intervalo . - Iteração 7:
. Novo intervalo . - Iteração 8:
. Novo intervalo . - Iteração 9:
. Novo intervalo . - Iteração 10:
. Agora a raiz está no intervalo de largura .
Passo 7
Refinação por interpolação linear (para acelerar e obter um valor aproximado mais direto):
- Tomando os extremos do último intervalo:
com , e com . - Interpolação linear (regra da falsa posição aproximada):
- Substituindo os valores:
- Essa interpolação dá
. Verificações rápidas das grandezas envolvidas mostram que esse valor reduz para um número muito próximo de zero (ordem a dependendo das aproximações numéricas usadas).
Passo 8
Comentário sobre precisão e possível refinamento:
- A bisseção já nos forneceu um intervalo de largura menor que
. A interpolação linear deu . - Se for necessário mais dígitos, pode-se aplicar o método de Newton partindo de
com
e executar algumas iterações de Newton até a tolerância desejada. Como
é bem comportada aqui, uma ou duas iterações de Newton convergem rapidamente. (Optei por parar na aproximação
que já tem boa precisão para a maioria das provas / verificações rápidas.)