\sqrt{x}-\cos (0,374+x)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\sqrt{x}-\cos(0,374+x)=0.
Informações dadas e observações iniciais (peguei o número 0,374 do enunciado):
  • A incógnita é x (procuramos soluções reais).
  • Há uma raiz quadrada \sqrt{x}, logo existe a restrição x\ge0.
  • A função cosseno tem imagem em [-1,1].
  • A equação equivalente é procurar x\ge0 tal que
\sqrt{x}=\cos(0,374+x).

Passo 2

Entendendo o domínio e uma redução inicial:
  • Como \sqrt{x}\ge0 e \cos(\cdot)\le1, uma solução deve satisfazer \sqrt{x}\le1, ou seja x\le1. Portanto qualquer solução real está no intervalo [0,1].
  • Definimos a função
f(x)=\sqrt{x}-\cos(0,374+x),
com domínio [0,1]. Resolver a equação equivale a encontrar zeros de f em [0,1].

Passo 3

Existência de raiz pelo Teorema do Valor Intermediário (explicando a ideia):
  • Calculamos f(0) e f(1) para ver se há mudança de sinal (se houver, há pelo menos uma raiz).
  • Para x=0:
f(0)=\sqrt{0}-\cos(0,374)=-\cos(0,374).
Aproximação de \cos(0,374) usando a série de Taylor curta ou aproximação numérica: \cos(0,374)\approx0,9309. Logo
f(0)\approx-0,9309<0.
  • Para x=1:
f(1)=1-\cos(1,374).
Note que 1,374 está a uma distância de \approx0,197 de \tfrac{\pi}{2}, então \cos(1,374)=\sin(0,197)\approx0,1955. Assim
f(1)\approx1-0,1955=0,8045>0.
  • Como f é contínua em [0,1] e f(0)<0<f(1), pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em (0,1).

Passo 4

Unicidade da raiz (porque é importante para saber que o que vamos achar é a única solução):
  • A função \sqrt{x} é estritamente crescente em [0,1].
  • A função x\mapsto\cos(0,374+x) é estritamente decrescente em [0,1], porque sua derivada é -\sin(0,374+x) e \sin(0,374+x)>0 para x\in[0,1] (já que 0,374<x+0,374<1,374 e nessa faixa seno é positivo).
  • A diferença de uma função crescente com outra decrescente é estritamente crescente, logo f é estritamente crescente em [0,1].
  • Uma função estritamente crescente pode ter no máximo uma raiz. Como já sabemos que existe pelo menos uma, concluímos que existe exatamente uma raiz em [0,1].

Passo 5

Escolha do método numérico e justificativa rápida:
  • Como não existe fórmula fechada simples para resolver \sqrt{x}=\cos(0,374+x), usamos um método numérico. Vou usar o método da bisseção (seguro e fácil de controlar o erro) até um pequeno intervalo, depois faço uma interpolação para refinar.
  • O método da bisseção: a cada passo tomamos o ponto médio do intervalo onde a função muda de sinal e reduzimos o intervalo pela metade mantendo a mudança de sinal. Repetimos até obter a precisão desejada.

Passo 6

Aplicando bisseção (vou mostrar as iterações principais, com os valores aproximados de f):
  • Inicial: intervalo [a,b]=[0,1], com f(0)\approx-0,9309, f(1)\approx0,8045.
  • Iteração 1: x_1=0,5. f(0,5)=\sqrt{0,5}-\cos(0,874)\approx0,7071068-0,64238\approx0,06473>0.Mudança de sinal entre 0 e 0,5 → novo intervalo [0,0,5].
  • Iteração 2: x_2=0,25. f(0,25)\approx0,5-\cos(0,624)\approx0,5-0,81163\approx-0,31163<0.Mudança de sinal entre 0,25 e 0,5 → novo intervalo [0,25,0,5].
  • Iteração 3: x_3=0,375. f(0,375)\approx0,612372-0,73261\approx-0,12024<0.Novo intervalo [0,375,0,5].
  • Iteração 4: x_4=0,4375. f(0,4375)\approx0,661438-0,68882\approx-0,02738<0.Novo intervalo [0,4375,0,5].
  • Iteração 5: x_5=0,46875. f(0,46875)\approx0,684653-0,66600\approx0,01865>0.Novo intervalo [0,4375,0,46875].
  • Iteração 6: x_6=0,453125. f(0,453125)\approx0,673160-0,677425\approx-0,004265<0.Novo intervalo [0,453125,0,46875].
  • Iteração 7: x_7=0,4609375. f(0,4609375)\approx0,678935-0,67168\approx0,007255>0.Novo intervalo [0,453125,0,4609375].
  • Iteração 8: x_8=0,45703125. f(0,45703125)\approx0,676053-0,67454\approx0,001513>0.Novo intervalo [0,453125,0,45703125].
  • Iteração 9: x_9=0,455078125. f(0,455078125)\approx0,674609-0,67602\approx-0,001411<0.Novo intervalo [0,455078125,0,45703125].
  • Iteração 10: x_{10}=0,4560546875. f(0,4560546875)\approx0,675318-0,674830\approx0,000488>0.Agora a raiz está no intervalo [0,455078125,0,4560546875] de largura 0,0009765625.

Passo 7

Refinação por interpolação linear (para acelerar e obter um valor aproximado mais direto):
  • Tomando os extremos do último intervalo: x_L=0,455078125 com f_L\approx-0,001411, e x_R=0,4560546875 com f_R\approx0,000488.
  • Interpolação linear (regra da falsa posição aproximada):
x_{\text{aprox}}=x_L-\frac{f_L}{f_R-f_L}(x_R-x_L).
  • Substituindo os valores:
x_{\text{aprox}}\approx0,455078125-\frac{-0,001411}{0,000488-(-0,001411)}\cdot0,0009765625\approx0,455804\\ (\text{aprox}).
  • Essa interpolação dá x\approx0,455804. Verificações rápidas das grandezas envolvidas mostram que esse valor reduz f para um número muito próximo de zero (ordem 10^{-6} a 10^{-4} dependendo das aproximações numéricas usadas).

Passo 8

Comentário sobre precisão e possível refinamento:
  • A bisseção já nos forneceu um intervalo de largura menor que 10^{-3}. A interpolação linear deu x\approx0,455804.
  • Se for necessário mais dígitos, pode-se aplicar o método de Newton partindo de x_0=0,455804 com
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+\sin(0,374+x),
e executar algumas iterações de Newton até a tolerância desejada. Como f é bem comportada aqui, uma ou duas iterações de Newton convergem rapidamente. (Optei por parar na aproximação 0,455804 que já tem boa precisão para a maioria das provas / verificações rápidas.)

Resposta

x\approx0,455804

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