2 \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)=0,5 x^{2}-1

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • O enunciado pede: resolver, em \mathbb{R}, a equação
2\sin\!\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=0,5x^{2}-1.
  • Informações dadas (as que já aparecem na própria equação):
    • Há uma parte trigonométrica \,2\sin\!\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)\,.
    • Há uma parte polinomial \,\dfrac{1}{2}x^{2}-1\,.
  • Objetivo final: encontrar todos os valores de x reais que tornam a igualdade verdadeira.

Passo 2

Transformar a equação em uma forma única para estudar raízes.
  • É útil passar tudo para um único lado e definir uma função cujo zeros correspondem às soluções da equação. Defino
f(x)=\frac{1}{2}x^{2}-1-2\sin\!\left(x+\frac{\pi}{3}\right).
  • Assim, resolver a equação original equivale a encontrar os zeros de f, ou seja, todos os x tais que f(x)=0.
  • Observação de comportamento: f é contínua em \mathbb{R} (soma e composição de funções polinomiais e seno), logo para detectar raízes uma estratégia robusta é procurar intervalos onde f muda de sinal e aplicar um método numérico de aproximação (por exemplo, bissecção), que garante convergência.

Passo 3

Escolher método e justificar: bissecção (método simples e seguro).
  • Por que bissecção? Porque f é contínua e o método só precisa de um intervalo [a,b] tal que f(a)\cdot f(b)<0. É fácil de aplicar e de explicar passo a passo durante a prova, e garante encontrar uma raiz com a precisão desejada.
  • Plano: localizar intervalos onde f muda de sinal e então aplicar bissecção em cada intervalo até a precisão adequada.

Passo 4

Procurar intervalos com mudança de sinal — primeiro intervalo (raiz negativa).
  • Calculo alguns valores de f para achar trocas de sinal. Em todos os cálculos de seno abaixo, uso aproximações numéricas razoáveis (a prova costuma permitir calculadora; se não permitir, faz-se bissecção com valores “inteiros” até estreitar mais):
    • Para x=-3:
    f(-3)=\frac{1}{2}\cdot(-3)^{2}-1-2\sin\!\left(-3+\frac{\pi}{3}\right) =4{,}5-1-2\sin\!\left(-1{,}9528\ldots\right). \sin(-1{,}9528)\approx-0{,}928, portanto f(-3)\approx 3{,}5-2(-0{,}928)=3{,}5+1{,}856=5{,}356>0.
    • Para x=-1:
    f(-1)=\frac{1}{2}\cdot1-1-2\sin\!\left(-1+\frac{\pi}{3}\right) =-0{,}5-2\sin(0{,}0472\ldots). \sin(0{,}0472)\approx0{,}0472, então f(-1)\approx-0{,}5-0{,}0944=-0{,}5944<0.
  • Conclusão: há mudança de sinal entre x=-3 e x=-1. Vamos estreitar este intervalo para localizar uma raiz.

Passo 5

Bissecção para a raiz negativa (detalhes das iterações).
  • Começamos com [a,b]=[-2,-1] porque já percebemos f(-2)>0 e f(-1)<0. Confirmando:
    f(-2)=\frac{1}{2}\cdot4-1-2\sin\!\left(-2+\frac{\pi}{3}\right) =1-2\sin(-0{,}9528\ldots),
    \sin(-0{,}9528)\approx-0{,}815\Rightarrow f(-2)\approx1-2(-0{,}815)=1+1{,}63=2{,}63>0.
  • Iterações (mostro as iterações até obter precisão de \approx 10^{-4}):
    1. a=-2, b=-1. Ponto médio m=-1{,}5.
    f(-1{,}5)=\frac{1}{2}(2{,}25)-1-2\sin(-0{,}4528\ldots) =0{,}125-2(-0{,}438)\approx0{,}125+0{,}876=1{,}001>0.
    Sinal em m positivo \Rightarrow nova hipótese [a,b]=[-1{,}5,-1].
    1. a=-1{,}5, b=-1. m=-1{,}25.
    f(-1{,}25)=\frac{1}{2}(1{,}5625)-1-2\sin(-0{,}2028\ldots) =-0{,}21875-2(-0{,}201)\approx-0{,}21875+0{,}402\approx0{,}183>0.
    Ainda positivo \Rightarrow [a,b]=[-1{,}25,-1].
    1. a=-1{,}25, b=-1. m=-1{,}125.
    f(-1{,}125)=\frac{1}{2}(1{,}265625)-1-2\sin(-0{,}0778\ldots) =-0{,}3671875-2(-0{,}0777)\approx-0{,}3671875+0{,}1554\approx-0{,}2118<0.
    Agora negativo \Rightarrow raiz em [-1{,}25,-1{,}125].
    1. a=-1{,}25, b=-1{,}125. m=-1{,}1875.
    f(-1{,}1875)\approx -0{,}058\\ (\text{cálculo com }\sin(-0{,}1403)\approx-0{,}1398),á
    resultado é ligeiramente negativo \Rightarrow raiz em [-1{,}25,-1{,}1875].
    1. a=-1{,}25, b=-1{,}1875. m=-1{,}21875.
    f(-1{,}21875)\approx +0{,}012\\ (\text{usando }\sin(-0{,}1716)\approx-0{,}1707),
    positivo \Rightarrow raiz em [-1{,}21875,-1{,}1875].
    1. Agora o intervalo tem largura 0{,}03125. Continuando a dividir e avaliando com maior precisão (mais iterações semelhantes) chegamos a uma raiz aproximada
    x\approx -1{,}1923\quad(\text{arredondado a }4\\ \text{casas decimais}: -1{,}1923).
  • Comentário: nas iterações usei aproximações usuais do seno (p.ex. série linear para ângulos pequenos ou valores calculados com precisão moderada). A bissecção garante que a raiz obtida está correta dentro do erro do último intervalo; para precisão maior basta mais iterações.

Passo 6

Procurar intervalos com mudança de sinal — segunda raiz (positiva).
  • Testes rápidos:
    • f(0)=\dfrac{1}{2}\cdot0^{2}-1-2\sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=-1-2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=-1-\sqrt{3}\approx-2{,}732<0.
    • f(2)=\dfrac{1}{2}\cdot4-1-2\sin\!\left(2+\frac{\pi}{3}\right)=1-2\sin(3{,}0472\ldots). Como \sin(3{,}0472)\approx0{,}0949, obtemos f(2)\approx1-0{,}1898=0{,}8102>0.
  • Logo existe pelo menos uma raiz entre x=0 e x=2. Vamos estreitar esse intervalo.

Passo 7

Bissecção para a raiz positiva (iterações).
  • Começamos com [a,b]=[1,2] porque f(1)<0 e f(2)>0.
  • Iterações (mostradas resumidamente, com os valores de f aproximados):
    1. a=1, b=2. m=1{,}5.
    f(1{,}5)=0{,}125-2\sin(2{,}547)\approx0{,}125-2(0{,}56)\approx-0{,}995<0.
    Mantém [a,b]=[1{,}5,2].
    1. m=1{,}75.
    f(1{,}75)\approx0{,}53125-2\sin(2{,}797)\approx0{,}53125-0{,}676\approx-0{,}145<0.
    Mantém [a,b]=[1{,}75,2].
    1. m=1{,}875.
    f(1{,}875)\approx0{,}7578-2\sin(2{,}922)\approx0{,}7578-2(0{,}219)\approx0{,}3198>0.
    Agora sinal positivo \Rightarrow raiz em [1{,}75,1{,}875].
    1. m=1{,}8125.
    f(1{,}8125)\approx0{,}6420-2\sin(2{,}8597)\approx0{,}6420-2(0{,}279)\approx0{,}084>0.
    Nova faixa [1{,}75,1{,}8125].
    1. m=1{,}78125.
    f(1{,}78125)\approx0{,}586-2\sin(2{,}8284)\approx0{,}586-2(0{,}306)\approx-0{,}026<0.
    Nova faixa [1{,}78125,1{,}8125].
    1. Repetindo a divisão e avaliando com mais cuidado até obter precisão de 10^{-4}, encontramos
    x\approx 1{,}7894\quad(\text{arredondado a }4\\ \text{casas decimais}: 1{,}7894).
  • Observação: apresentei as iterações de forma resumida; na prova, faço as avaliações de seno com a calculadora ou com aproximações suficientes, e continuo a bissecção até a precisão requerida.

Passo 8

Verificação rápida das soluções encontradas.
  • Substituindo aproximadamente cada raiz em f(x) deve-se obter algo muito próximo de zero:
    • Para x\approx -1{,}1923: f(-1{,}1923)\approx0 (ordem 10^{-4} ou menos).
    • Para x\approx 1{,}7894: f(1{,}7894)\approx0 (ordem 10^{-4} ou menos).
  • Esses valores confirmam que as aproximações são raízes da equação dentro da precisão escolhida.

Resposta

-1{,}1923
1{,}7894

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