Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- O enunciado pede: resolver, em
, a equação
- Informações dadas (as que já aparecem na própria equação):
- Há uma parte trigonométrica
. - Há uma parte polinomial
.
- Há uma parte trigonométrica
- Objetivo final: encontrar todos os valores de
reais que tornam a igualdade verdadeira.
Passo 2
Transformar a equação em uma forma única para estudar raízes.
- É útil passar tudo para um único lado e definir uma função cujo zeros correspondem às soluções da equação. Defino
- Assim, resolver a equação original equivale a encontrar os zeros de
, ou seja, todos os tais que . - Observação de comportamento:
é contínua em (soma e composição de funções polinomiais e seno), logo para detectar raízes uma estratégia robusta é procurar intervalos onde muda de sinal e aplicar um método numérico de aproximação (por exemplo, bissecção), que garante convergência.
Passo 3
Escolher método e justificar: bissecção (método simples e seguro).
- Por que bissecção? Porque
é contínua e o método só precisa de um intervalo tal que . É fácil de aplicar e de explicar passo a passo durante a prova, e garante encontrar uma raiz com a precisão desejada. - Plano: localizar intervalos onde
muda de sinal e então aplicar bissecção em cada intervalo até a precisão adequada.
Passo 4
Procurar intervalos com mudança de sinal — primeiro intervalo (raiz negativa).
- Calculo alguns valores de
para achar trocas de sinal. Em todos os cálculos de seno abaixo, uso aproximações numéricas razoáveis (a prova costuma permitir calculadora; se não permitir, faz-se bissecção com valores “inteiros” até estreitar mais): - Para
:
, portanto - Para
:
, então - Para
- Conclusão: há mudança de sinal entre
e . Vamos estreitar este intervalo para localizar uma raiz.
Passo 5
Bissecção para a raiz negativa (detalhes das iterações).
-
Começamos com
porque já percebemos e . Confirmando: -
Iterações (mostro as iterações até obter precisão de
): -
, . Ponto médio .
Sinal empositivo nova hipótese . -
, . .
Ainda positivo. -
, . .
Agora negativoraiz em . -
, . .
resultado é ligeiramente negativoraiz em . -
, . .
positivoraiz em . - Agora o intervalo tem largura
. Continuando a dividir e avaliando com maior precisão (mais iterações semelhantes) chegamos a uma raiz aproximada
-
-
Comentário: nas iterações usei aproximações usuais do seno (p.ex. série linear para ângulos pequenos ou valores calculados com precisão moderada). A bissecção garante que a raiz obtida está correta dentro do erro do último intervalo; para precisão maior basta mais iterações.
Passo 6
Procurar intervalos com mudança de sinal — segunda raiz (positiva).
- Testes rápidos:
-
-
Como , obtemos
-
- Logo existe pelo menos uma raiz entre
e . Vamos estreitar esse intervalo.
Passo 7
Bissecção para a raiz positiva (iterações).
-
Começamos com
porque e . -
Iterações (mostradas resumidamente, com os valores de
aproximados): -
, . .
Mantém. -
.
Mantém. -
.
Agora sinal positivoraiz em . -
.
Nova faixa. -
.
Nova faixa. - Repetindo a divisão e avaliando com mais cuidado até obter precisão de
, encontramos
-
-
Observação: apresentei as iterações de forma resumida; na prova, faço as avaliações de seno com a calculadora ou com aproximações suficientes, e continuo a bissecção até a precisão requerida.
Passo 8
Verificação rápida das soluções encontradas.
- Substituindo aproximadamente cada raiz em
deve-se obter algo muito próximo de zero: - Para
: (ordem ou menos). - Para
: (ordem ou menos).
- Para
- Esses valores confirmam que as aproximações são raízes da equação dentro da precisão escolhida.