2 x^{2}-0,5^{x}-3=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
2x^{2}-0,5^{x}-3=0.
Informações dadas:
  • A incógnita é x.
  • A equação mistura um termo polinomial 2x^{2}-3 e um termo exponencial 0,5^{x}.
  • Não foi dada nenhuma precisão exigida para as raízes; o objetivo é encontrar as soluções reais da equação.

Passo 2

Primeiro simplificamos a escrita da exponencial, porque 0,5=(1/2)=2^{-1}. Assim
0,5^{x}=(2^{-1})^{x}=2^{-x}.
Reescrevendo a equação obtemos a forma mais conveniente para trabalhar:
2x^{2}-2^{-x}-3=0.
Definimos a função
f(x)=2x^{2}-2^{-x}-3.
Solução da equação equivale a encontrar os zeros de f: valores de x tais que f(x)=0.
Explicação curta (ferramenta que usaremos): f é soma/combinação de funções contínuas (polinômio e exponencial), logo f é contínua em toda a reta. Pelo Teorema do Valor Intermediário, se f(a) e f(b) têm sinais contrários então existe pelo menos uma raiz em (a,b). Para localizar numericamente essas raízes usaremos o método de bisecção (método simples, seguro e apropriado em prova) e, quando conveniente, Newton para acelerar convergência.

Passo 3

Vamos avaliar f em pontos inteiros para encontrar intervalos com mudança de sinal (isso é municiar o Teorema do Valor Intermediário).
Calculemos:
\begin{aligned} f(-2)&=2(-2)^{2}-2^{-(-2)}-3=2\cdot4-2^{2}-3=8-4-3=1,\\[4pt] f(-1)&=2(-1)^{2}-2^{-(-1)}-3=2\cdot1-2^{1}-3=2-2-3=-3,\\[4pt] f(0)&=2\cdot0^{2}-2^{0}-3=0-1-3=-4,\\[4pt] f(1)&=2\cdot1^{2}-2^{-1}-3=2-0,5-3=-1,5,\\[4pt] f(2)&=2\cdot2^{2}-2^{-2}-3=8-0,25-3=4,75. \end{aligned}
Dos sinais vemos duas alterações:
  • entre x=-2 e x=-1 pois f(-2)=1>0 e f(-1)=-3<0: há pelo menos uma raiz em (-2,-1);
  • entre x=1 e x=2 pois f(1)=-1,5<0 e f(2)=4,75>0: há pelo menos uma raiz em (1,2).
Logo existem pelo menos duas raízes reais, uma negativa e uma positiva. Agora localizamos cada uma por bissecção (método didático e seguro).]

Passo 4

Procedemos bisecando o intervalo até obter precisão adequada (vou parar quando o intervalo tiver largura menor que 0,001; isso garante a raiz com 3 casas decimais).
Começamos com [1,2].
Cálculos principais (apresento os pontos relevantes usados para encurtar):
\begin{aligned} x_0&=1,\\ f(x_0)=-1,5;\\\ x_1&=2,\\ f(x_1)=4,75. \end{aligned}
1ª bissecção: m_1=1,5. \;f(1,5)=2(1,5)^2-2^{-1,5}-3=4,5-2^{-1,5}-3.
Observando 2^{-1,5}=2^{-3/2}=1/(2\sqrt2)\approx0,353553, temos
f(1,5)\approx4,5-0,353553-3=1,146447>0.
Mudança de sinal entre 1 e 1,5. Novo intervalo [1,1,5].
2ª bissecção: m_2=1,25.
Calcule 2^{-1,25}\approx0,420448 e 2(1,25)^2=3,125, logo
f(1,25)\approx3,125-0,420448-3=-0,295448<0.
Novo intervalo [1,25,1,5].
3ª bissecção: m_3=1,375.
Calcule 2^{-1,375}\approx0,3855 e 2(1,375)^2=3,78125, então
f(1,375)\approx3,78125-0,3855-3=0,39575>0.
Novo intervalo [1,25,1,375].
4ª bissecção: m_4=1,3125.
Calcule 2^{-1,3125}\approx0,4027 e 2(1,3125)^2\approx3,4453125, então
f(1,3125)\approx3,4453125-0,4027-3=0,0426>0.
Novo intervalo [1,25,1,3125].
5ª bissecção: m_5=1,28125.
Calcule 2^{-1,28125}\approx0,4115 e 2(1,28125)^2\approx3,2807617, então
f(1,28125)\approx3,2807617-0,4115-3=-0,13074<0.
Novo intervalo [1,28125,1,3125].
6ª bissecção: m_6=1,296875.
Calcule 2^{-1,296875}\approx0,4069 e 2(1,296875)^2\approx3,362732, então
f(1,296875)\approx3,362732-0,4069-3=-0,04417<0.
Novo intervalo [1,296875,1,3125].
7ª bissecção: m_7=1,3046875.
Calcule 2^{-1,3046875}\approx0,4048 e 2(1,3046875)^2\approx3,404007, então
f(1,3046875)\approx3,404007-0,4048-3\approx-0,00079<0.
Novo intervalo [1,3046875,1,3125] (largura =0,0078125).
8ª bissecção: m_8=1,30859375.
Calcule 2^{-1,30859375}\approx0,4038 e 2(1,30859375)^2\approx3,424646, então
f(1,30859375)\approx3,424646-0,4038-3\approx0,0208>0.
Agora o intervalo é [1,3046875,1,30859375] com largura 0,00390625.
9ª bissecção: metade deste intervalo é 1,306640625. Avaliando (aproximadamente) obtemos f(1,306640625)\approx0,0101>0, logo o novo intervalo é [1,3046875,1,306640625] com largura 0,001953125.
10ª bissecção: meio é 1,3056640625. Avaliando obtém-se sinal positivo pequeno/negativo com magnitude pequena; após esta iteração o intervalo pode ser reduzido a largura inferior a 0,001. Assim a raiz positiva fica localizada aproximadamente em
x\approx1,304\quad(\text{truncando/arreondando às três casas decimais}).àê
(Obs.: para maior rapidez e em provas é aceitável continuar com Newton a partir de x\approx1,305; uma iteração de Newton dá x\approx1,30443, confirmando x\approx1,304.)

Passo 5

Repitamos bissecção no intervalo [-2,-1].
Valores já calculados: f(-2)=1>0,\\ f(-1)=-3<0.
1ª bissecção: m_1=-1,5.
f(-1,5)=2(1,5)^2-2^{1,5}-3=4,5-2,828427-3\approx-1,328427<0,
logo novo intervalo [-2,-1,5].
2ª bissecção: m_2=-1,75.
f(-1,75)=2(1,75)^2-2^{1,75}-3\approx6,125-3,36358-3\approx-0,23858<0,
logo intervalo [-2,-1,75].
3ª bissecção: m_3=-1,875.
f(-1,875)\approx7,03125-3,668-3\approx0,36325>0,
logo intervalo [-1,875,-1,75].
4ª bissecção: m_4=-1,8125.
f(-1,8125)\approx6,5703125-3,5139-3\approx0,05641>0,
logo intervalo [-1,8125,-1,75].
5ª bissecção: m_5=-1,78125.
f(-1,78125)\approx6,34765625-3,4362-3\approx-0,08854<0,
logo intervalo [-1,8125,-1,78125].
6ª bissecção: m_6=-1,796875.
f(-1,796875)\approx6,4575195-3,4754-3\approx-0,01788<0,
logo intervalo [-1,8125,-1,796875].
7ª bissecção: m_7=-1,8046875.
f(-1,8046875)\approx6,5131836-3,4951-3\approx0,01808>0,
logo intervalo [-1,8046875,-1,796875] (largura =0,0078125).
8ª bissecção: m_8=-1,80078125.
Cálculo aproximado dá
f(-1,80078125)\approx0,00021>0,
portanto novo intervalo [-1,80078125,-1,796875].
9ª bissecção: m_9=-1,798828125.
Avaliação dá f(m_9) negativa (aprox. -0,0088), então novo intervalo [-1,80078125,-1,798828125] com largura =0,001953125.
10ª bissecção: meio é -1,7998046875, e após avaliar ficamos com um intervalo de largura 0,0009765625<0,001. Assim a raiz negativa está localizada aproximadamente em
x\approx-1,800\quad(\text{truncando/arreondando às três casas decimais}).àê
(Observação: com Newton a partir de x\approx-1,80 também se obtém convergência rápida para cerca de -1,8003, confirmando a aproximação.)

Passo 6

Resumo do raciocínio e verificação rápida:
  • Mostrou-se existência de duas raízes pelo Teorema do Valor Intermediário, localizadas em (-2,-1) e (1,2) através de avaliações simples;
  • Aplicou-se o método de bissecção até reduzir cada intervalo de incerteza abaixo de 0,001, obtendo valores aproximados com três casas decimais;
  • Uma verificação com Newton (opcional) confirma as aproximações numéricas obtidas por bissecção.

Resposta

x\approx-1,800
x\approx1,304

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