Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
Informações dadas:
- A incógnita é
. - A equação mistura um termo polinomial
e um termo exponencial . - Não foi dada nenhuma precisão exigida para as raízes; o objetivo é encontrar as soluções reais da equação.
Passo 2
Primeiro simplificamos a escrita da exponencial, porque
. Assim
Reescrevendo a equação obtemos a forma mais conveniente para trabalhar:
Definimos a função
Solução da equação equivale a encontrar os zeros de
: valores de
tais que
.
Explicação curta (ferramenta que usaremos):
é soma/combinação de funções contínuas (polinômio e exponencial), logo
é contínua em toda a reta. Pelo Teorema do Valor Intermediário, se
e
têm sinais contrários então existe pelo menos uma raiz em
. Para localizar numericamente essas raízes usaremos o método de bisecção (método simples, seguro e apropriado em prova) e, quando conveniente, Newton para acelerar convergência.
Passo 3
Vamos avaliar
em pontos inteiros para encontrar intervalos com mudança de sinal (isso é municiar o Teorema do Valor Intermediário).
Calculemos:
Calculemos:
Dos sinais vemos duas alterações:
- entre
e pois e : há pelo menos uma raiz em ; - entre
e pois e : há pelo menos uma raiz em .
Logo existem pelo menos duas raízes reais, uma negativa e uma positiva. Agora localizamos cada uma por bissecção (método didático e seguro).]
Passo 4
Procedemos bisecando o intervalo até obter precisão adequada (vou parar quando o intervalo tiver largura menor que
; isso garante a raiz com 3 casas decimais).
Começamos com .
Cálculos principais (apresento os pontos relevantes usados para encurtar):
Começamos com
Cálculos principais (apresento os pontos relevantes usados para encurtar):
1ª bissecção:
.
.
Observando , temos
Observando
Mudança de sinal entre
e
. Novo intervalo
.
2ª bissecção:
.
Calcule e
, logo
Calcule
Novo intervalo
.
3ª bissecção:
.
Calcule e
, então
Calcule
Novo intervalo
.
4ª bissecção:
.
Calcule e
, então
Calcule
Novo intervalo
.
5ª bissecção:
.
Calcule e
, então
Calcule
Novo intervalo
.
6ª bissecção:
.
Calcule e
, então
Calcule
Novo intervalo
.
7ª bissecção:
.
Calcule e
, então
Calcule
Novo intervalo
(largura
).
8ª bissecção:
.
Calcule e
, então
Calcule
Agora o intervalo é
com largura
.
9ª bissecção: metade deste intervalo é
. Avaliando (aproximadamente) obtemos
, logo o novo intervalo é
com largura
.
10ª bissecção: meio é
. Avaliando obtém-se sinal positivo pequeno/negativo com magnitude pequena; após esta iteração o intervalo pode ser reduzido a largura inferior a
. Assim a raiz positiva fica localizada aproximadamente em
(Obs.: para maior rapidez e em provas é aceitável continuar com Newton a partir de
; uma iteração de Newton dá
, confirmando
.)
Passo 5
Repitamos bissecção no intervalo
.
Valores já calculados:
.
1ª bissecção:
.
logo novo intervalo
.
2ª bissecção:
.
logo intervalo
.
3ª bissecção:
.
logo intervalo
.
4ª bissecção:
.
logo intervalo
.
5ª bissecção:
.
logo intervalo
.
6ª bissecção:
.
logo intervalo
.
7ª bissecção:
.
logo intervalo
(largura
).
8ª bissecção:
.
Cálculo aproximado dá
Cálculo aproximado dá
portanto novo intervalo
.
9ª bissecção:
.
Avaliação dá negativa (aprox.
), então novo intervalo
com largura
.
Avaliação dá
10ª bissecção: meio é
, e após avaliar ficamos com um intervalo de largura
. Assim a raiz negativa está localizada aproximadamente em
(Observação: com Newton a partir de
também se obtém convergência rápida para cerca de
, confirmando a aproximação.)
Passo 6
Resumo do raciocínio e verificação rápida:
- Mostrou-se existência de duas raízes pelo Teorema do Valor Intermediário, localizadas em
e através de avaliações simples; - Aplicou-se o método de bissecção até reduzir cada intervalo de incerteza abaixo de
, obtendo valores aproximados com três casas decimais; - Uma verificação com Newton (opcional) confirma as aproximações numéricas obtidas por bissecção.