Sirius B (estrela tipo anã branca) tem massa M=2 \times 10^{30} \mathrm{~kg} e raio R=5400 \mathrm{~km}. Supondo uma distribuição homogênea da matéria (considerando somente átomos de hidrogênio), calcule com o princípio da incerteza a energia cinética mínima dos elétrons.

Passo 1

O enunciado pede: calcular, usando o princípio da incerteza, a energia cinética mínima dos elétrons de Sirius B, assumindo matéria homogênea composta só por átomos de hidrogênio.
Dados fornecidos (vou listar todos de forma explícita):
M = 2\times10^{30}\\ \mathrm{kg} (massa da estrela)
R = 5400\\ \mathrm{km} = 5{,}4\times10^{6}\\ \mathrm{m} (raio da estrela)
Assumimos que cada átomo de hidrogênio fornece um elétron livre, portanto o número de elétrons é igual ao número de átomos de hidrogênio presentes.
Não há outras informações explícitas, por isso usarei constantes físicas conhecidas: constante de Planck reduzida \hbar, massa do elétron m_e e massa do átomo de hidrogênio m_H.

Passo 2

Escolha do método (explicação didática e motivo):
O enunciado pede usar o princípio da incerteza, então vamos aplicar diretamente a relação de Heisenberg entre incerteza de posição e incerteza de momento:
\Delta x\,\Delta p \gtrsim \frac{\hbar}{2}.
A ideia física: em um meio muito denso os elétrons ficam confinados em pequenas regiões espaciais; isso reduz \Delta x e, pela incerteza, aumenta \Delta p. Tomando \Delta p mínimo compatível com a incerteza e associando esse momento a uma energia cinética \simeq \dfrac{(\Delta p)^2}{2m_e}, obtemos uma estimativa da energia cinética mínima por elétron. Vou usar a forma mínima \Delta p \approx \dfrac{\hbar}{2\Delta x} (corresponde ao caso em que a desigualdade é aproximada por igualdade, buscando a energia mínima compatível com a incerteza). Isso é uma escolha padrão quando se pede “energia mínima pelo princípio da incerteza”.

Passo 3

Calcular o número total de elétrons N (cada átomo de hidrogênio fornece um elétron):
A massa do átomo de hidrogênio (próton + elétron) é aproximadamente m_H = 1{,}67\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}. Então
N = \frac{M}{m_H} = \frac{2\times10^{30}}{1{,}67\times10^{-27}} = 1{,}1976\times10^{57}\\ (\text{elétrons}).é
Aqui dividi a massa total pela massa de um átomo para obter quantos átomos há; como há um elétron por átomo, esse é também o número de elétrons.

Passo 4

Calcular o volume V da estrela (assumindo esfera homogênea):
A fórmula do volume da esfera é \displaystyle V=\frac{4}{3}\pi R^{3}. Com R=5{,}4\times10^{6}\\ \mathrm{m},
R^{3}=(5{,}4\times10^{6})^{3}=5{,}4^{3}\times10^{18}=1{,}57464\times10^{20}\\ \mathrm{m^{3}},
V=\frac{4}{3}\pi R^{3}=4{,}18879\times1{,}57464\times10^{20}=6{,}5939\times10^{20}\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 5

Calcular a densidade numérica n (número de elétrons por volume):
n=\frac{N}{V}=\frac{1{,}1976\times10^{57}}{6{,}5939\times10^{20}}=1{,}817\times10^{36}\\ \mathrm{m^{-3}}.
Interpretando: em cada metro cúbico há cerca de 1{,}8\times10^{36} elétrons — é uma densidade enorme, típica de anã branca.

Passo 6

Estimativa do espaço disponível por elétron e da incerteza de posição \Delta x:
Uma aproximação simples é assumir que cada elétron ocupa um volume típico 1/n, e a escala linear desse volume é o espaçamento médio entre elétrons:
\Delta x \sim n^{-1/3}.
Logo
\Delta x = (1{,}817\times10^{36})^{-1/3} = \frac{1}{(1{,}817)^{1/3}}\times10^{-12}\\ \mathrm{m}.
Calculando o cubo de 1{,}22 dá aproximadamente 1{,}817, portanto (1{,}817)^{1/3}\approx1{,}22. Assim
\Delta x \approx \frac{1}{1{,}22}\times10^{-12}=8{,}20\times10^{-13}\\ \mathrm{m}.
Comentário didático: esse \Delta x é da ordem de 10^{-12}\\ \mathrm{m} (picômetros), muito menor do que distâncias atômicas típicas devido à alta densidade.

Passo 7

Aplicar o princípio da incerteza para obter \Delta p:
Usamos \Delta p \approx \dfrac{\hbar}{2\Delta x}. A constante \hbar vale \hbar=1{,}054\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}. Então
\Delta p \approx \frac{1{,}054\times10^{-34}}{2\times8{,}20\times10^{-13}}=\frac{1{,}054\times10^{-34}}{1{,}64\times10^{-12}}=6{,}42\times10^{-23}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Explicação: \Delta p tem unidade de momento (massa vezes velocidade) e este valor representa o menor desvio de momento compatível com confinar o elétron em \Delta x.

Passo 8

Converter \Delta p em energia cinética mínima por elétron:
No regime não-relativístico a energia cinética associada a um momento p é
T=\frac{p^{2}}{2m_e},
onde m_e é a massa do elétron m_e=9{,}11\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}. Substituindo p=\Delta p:
T_{\min}=\frac{(6{,}42\times10^{-23})^{2}}{2\times9{,}11\times10^{-31}}=\frac{4{,}12\times10^{-45}}{1{,}822\times10^{-30}}=2{,}26\times10^{-15}\\ \mathrm{J}.
Didática: calculei (\Delta p)^{2} e dividi por 2m_e. Esse T_{\min} é a energia cinética mínima compatível com a incerteza de posição assumida.

Passo 9

Converter a energia de joules para elétron-volts e checar consistência não-relativística:
A conversão usa 1\\ \mathrm{eV}=1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{J}. Assim
T_{\min}=\frac{2{,}26\times10^{-15}}{1{,}602\times10^{-19}}=1{,}41\times10^{4}\\ \mathrm{eV}=1{,}41\times10^{1}\\ \mathrm{keV}\approx14{,}1\\ \mathrm{keV}.
Verificação rápida de consistência: energia de repouso do elétron é m_e c^{2}\approx511\\ \mathrm{keV}. Como 14{,}1\\ \mathrm{keV}\ll511\\ \mathrm{keV}, a aproximação não-relativística usada para T=\dfrac{p^{2}}{2m_e} é razoável.

Resposta

T_{\min}\approx2{,}3\times10^{-15}\\ \mathrm{J}\approx1{,}4\times10^{4}\\ \mathrm{eV}

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