Sirius B (estrela tipo anã branca) tem massa
e raio
. Supondo uma distribuição homogênea da matéria (considerando somente átomos de hidrogênio), calcule com o princípio da incerteza a energia cinética mínima dos elétrons.
Passo 1
O enunciado pede: calcular, usando o princípio da incerteza, a energia cinética mínima dos elétrons de Sirius B, assumindo matéria homogênea composta só por átomos de hidrogênio.
Dados fornecidos (vou listar todos de forma explícita):
(massa da estrela)
(raio da estrela)
Assumimos que cada átomo de hidrogênio fornece um elétron livre, portanto o número de elétrons é igual ao número de átomos de hidrogênio presentes.
Não há outras informações explícitas, por isso usarei constantes físicas conhecidas: constante de Planck reduzida , massa do elétron
e massa do átomo de hidrogênio
.
Dados fornecidos (vou listar todos de forma explícita):
Assumimos que cada átomo de hidrogênio fornece um elétron livre, portanto o número de elétrons é igual ao número de átomos de hidrogênio presentes.
Não há outras informações explícitas, por isso usarei constantes físicas conhecidas: constante de Planck reduzida
Passo 2
Escolha do método (explicação didática e motivo):
O enunciado pede usar o princípio da incerteza, então vamos aplicar diretamente a relação de Heisenberg entre incerteza de posição e incerteza de momento:
O enunciado pede usar o princípio da incerteza, então vamos aplicar diretamente a relação de Heisenberg entre incerteza de posição e incerteza de momento:
A ideia física: em um meio muito denso os elétrons ficam confinados em pequenas regiões espaciais; isso reduz
e, pela incerteza, aumenta
. Tomando
mínimo compatível com a incerteza e associando esse momento a uma energia cinética
, obtemos uma estimativa da energia cinética mínima por elétron. Vou usar a forma mínima
(corresponde ao caso em que a desigualdade é aproximada por igualdade, buscando a energia mínima compatível com a incerteza). Isso é uma escolha padrão quando se pede “energia mínima pelo princípio da incerteza”.
Passo 3
Calcular o número total de elétrons
(cada átomo de hidrogênio fornece um elétron):
A massa do átomo de hidrogênio (próton + elétron) é aproximadamente . Então
A massa do átomo de hidrogênio (próton + elétron) é aproximadamente
Aqui dividi a massa total pela massa de um átomo para obter quantos átomos há; como há um elétron por átomo, esse é também o número de elétrons.
Passo 4
Calcular o volume
da estrela (assumindo esfera homogênea):
A fórmula do volume da esfera é . Com
,
A fórmula do volume da esfera é
Passo 5
Calcular a densidade numérica
(número de elétrons por volume):
Interpretando: em cada metro cúbico há cerca de
elétrons — é uma densidade enorme, típica de anã branca.
Passo 6
Estimativa do espaço disponível por elétron e da incerteza de posição
:
Uma aproximação simples é assumir que cada elétron ocupa um volume típico , e a escala linear desse volume é o espaçamento médio entre elétrons:
Uma aproximação simples é assumir que cada elétron ocupa um volume típico
Logo
Calculando o cubo de
dá aproximadamente
, portanto
. Assim
Comentário didático: esse
é da ordem de
(picômetros), muito menor do que distâncias atômicas típicas devido à alta densidade.
Passo 7
Aplicar o princípio da incerteza para obter
:
Usamos . A constante
vale
. Então
Usamos
Explicação:
tem unidade de momento (massa vezes velocidade) e este valor representa o menor desvio de momento compatível com confinar o elétron em
.
Passo 8
Converter
em energia cinética mínima por elétron:
No regime não-relativístico a energia cinética associada a um momento é
No regime não-relativístico a energia cinética associada a um momento
onde
é a massa do elétron
. Substituindo
:
Didática: calculei
e dividi por
. Esse
é a energia cinética mínima compatível com a incerteza de posição assumida.
Passo 9
Converter a energia de joules para elétron-volts e checar consistência não-relativística:
A conversão usa . Assim
A conversão usa
Verificação rápida de consistência: energia de repouso do elétron é
. Como
, a aproximação não-relativística usada para
é razoável.