Para medições fotométricas muito precisas deve ser considerada a absorção no meio interestelar. Nesse caso, o módulo de distância é dado por
. Qual é a distância máxima de uma estrela RR Lyrae que pode ser observada com um pequeno telescópio com magnitude limite
, se a absorção é
?
Passo 1
O enunciado dá a fórmula do módulo de distância com absorção:
As informações fornecidas são:
- magnitude limite do telescópio:
; - absorção espacial (dada):
.
Falta no enunciado o valor absoluto da estrela RR Lyrae. É costume, em problemas e observações, usar o valor típico da magnitude absoluta de uma RR Lyrae como
Vou assumir esse valor (é um padrão razoável para exercícios).
Observação sobre unidades: na fórmula a distância
está em parsecs. Como
foi dada em
, é mais conveniente trocar para trabalhar com
em
, com
.
Observação sobre unidades: na fórmula
Passo 2
Reescrevemos a parte do módulo de distância em função de
(em kpc). Como
(onde
em parsec),
Substituindo na fórmula original e usando
obtemos:
onde
está em
.
Como queremos a distância máxima observável, colocamos
e
e calculamos
:
Logo a equação que precisamos resolver é
Subtraindo
dos dois lados e reorganizando, definimos a função
e procuramos
tal que
.
Passo 3
Explico o método: essa equação mistura
e termo linear
, então não tem solução algébrica simples — resolvemos numericamente por tentativa (método de encurtar intervalo / bissecção simples). Vou testar valores de
e calcular
, aproximando até obter
.
Testes iniciais:
-
Para
: entãoConclusão: a 1 kpc a estrela fica bem mais brilhante que o limite (ou seja, ainda visível; precisamos aumentar). -
Para
: usamos , logoConclusão: em 3 kpc a estrela já estaria mais fraca que o limite. Portanto a solução está entree .
Passo 4
Refinamos o intervalo entre
e
, porque
e
têm sinais opostos.
- Para
: ,
- Para
: ,
Portanto a raiz está entre
e
. Vamos estreitar mais.
Passo 5
Mais aproximações sucessivas:
- Para
: ,
Ainda positivo, então raiz é um pouco menor que
.
- Para
: ,
Muito perto de zero, positivo pequeno.
- Para
: ,
Aqui já atingimos praticamente
dentro do erro de aproximação numérica.
Passo 6
Interpretação física do resultado:
é a distância máxima a que uma RR Lyrae com
pode ser observada com um telescópio de limite
, considerando a absorção
. Se você estivesse em prova, esse processo de tentativa e ajuste (bissecção/iteração) é totalmente aceitável; só cuide das unidades e da conversão parsec ↔ kpc.