Para medições fotométricas muito precisas deve ser considerada a absorção no meio interestelar. Nesse caso, o módulo de distância é dado por m-M=5 \log r-5+A(r) \cdot r. Qual é a distância máxima de uma estrela RR Lyrae que pode ser observada com um pequeno telescópio com magnitude limite m_{\text {lim }}=13 \mathrm{mag}, se a absorção é A(r)=0,3 \mathrm{mag} / \mathrm{kpc} ?

Passo 1

O enunciado dá a fórmula do módulo de distância com absorção:
m - M = 5\log r - 5 + A(r)\cdot r
As informações fornecidas são:
  • magnitude limite do telescópio: m_{\text{lim}} = 13\\ \mathrm{mag};
  • absorção espacial (dada): A(r) = 0,3\\ \mathrm{mag}/\mathrm{kpc}.
Falta no enunciado o valor absoluto da estrela RR Lyrae. É costume, em problemas e observações, usar o valor típico da magnitude absoluta de uma RR Lyrae como
M = 0,6\\ \mathrm{mag}.
Vou assumir esse valor (é um padrão razoável para exercícios).
Observação sobre unidades: na fórmula 5\log r -5 a distância r está em parsecs. Como A(r) foi dada em \mathrm{mag}/\mathrm{kpc}, é mais conveniente trocar para trabalhar com R em \mathrm{kpc}, com r = 1000\,R.

Passo 2

Reescrevemos a parte do módulo de distância em função de R (em kpc). Como r = 1000R (onde r em parsec),
5\log r - 5 = 5\log(1000R) - 5 = 5(\log R + 3) - 5 = 5\log R + 10.
Substituindo na fórmula original e usando A(R)=0,3\\ \mathrm{mag}/\mathrm{kpc} obtemos:
m - M = 5\log R + 10 + 0,3\,R,
onde R está em \mathrm{kpc}.
Como queremos a distância máxima observável, colocamos m=m_{\text{lim}}=13 e M=0,6 e calculamos m-M:
m - M = 13 - 0,6 = 12,4.
Logo a equação que precisamos resolver é
12,4 = 5\log R + 10 + 0,3\,R.
Subtraindo 12,4 dos dois lados e reorganizando, definimos a função
f(R) = 5\log R + 0,3\,R - 2,4,
e procuramos R>0 tal que f(R)=0.

Passo 3

Explico o método: essa equação mistura \log R e termo linear 0,3R, então não tem solução algébrica simples — resolvemos numericamente por tentativa (método de encurtar intervalo / bissecção simples). Vou testar valores de R e calcular f(R), aproximando até obter f(R)\approx 0.
Testes iniciais:
  • Para R=1{,}0\\ \mathrm{kpc}:
    5\log 1 = 0,\quad 0,3R = 0,3,
    então
    f(1{,}0)=0 + 0,3 - 2,4 = -2,1\quad(\text{negativo}).
    Conclusão: a 1 kpc a estrela fica bem mais brilhante que o limite (ou seja, ainda visível; precisamos aumentar R).
  • Para R=3{,}0\\ \mathrm{kpc}: usamos \log 3 \approx 0,4771,
    5\log 3 \approx 2,3855,\quad 0,3R = 0,9,
    logo
    f(3{,}0)\approx 2,3855 + 0,9 - 2,4 = 0,8855\quad(\text{positivo}).
    Conclusão: em 3 kpc a estrela já estaria mais fraca que o limite. Portanto a solução está entre 1{,}0 e 3{,}0\\ \mathrm{kpc}.

Passo 4

Refinamos o intervalo entre 2{,}0 e 3{,}0, porque f(2{,}0) e f(3{,}0) têm sinais opostos.
  • Para R=2{,}0\\ \mathrm{kpc}: \log 2 \approx 0,3010, 5\log 2 \approx 1,5050,\quad 0,3R = 0,6,
f(2{,}0)\approx 1,5050 + 0,6 - 2,4 = -0,2950\quad(\text{negativo}).
  • Para R=2{,}5\\ \mathrm{kpc}: \log 2{,}5 \approx 0,39794, 5\log 2{,}5 \approx 1,9897,\quad 0,3R = 0,75,
f(2{,}5)\approx 1,9897 + 0,75 - 2,4 = 0,3397\quad(\text{positivo}).
Portanto a raiz está entre 2{,}0 e 2{,}5\\ \mathrm{kpc}. Vamos estreitar mais.

Passo 5

Mais aproximações sucessivas:
  • Para R=2{,}3\\ \mathrm{kpc}: \log 2{,}3 \approx 0,3617, 5\log 2{,}3 \approx 1,8085,\quad 0,3R = 0,69,
f(2{,}3)\approx 1,8085 + 0,69 - 2,4 = 0,0985.
Ainda positivo, então raiz é um pouco menor que 2{,}3.
  • Para R=2{,}23\\ \mathrm{kpc}: \log 2{,}23 \approx 0,3483, 5\log 2{,}23 \approx 1,7415,\quad 0,3R \approx 0,669,
f(2{,}23)\approx 1,7415 + 0,669 - 2,4 = 0,0105.
Muito perto de zero, positivo pequeno.
  • Para R=2{,}22\\ \mathrm{kpc}: \log 2{,}22 \approx 0,3468, 5\log 2{,}22 \approx 1,7339,\quad 0,3R \approx 0,666,
f(2{,}22)\approx 1,7339 + 0,666 - 2,4 \approx -0,0001\\ (\text{aprox }0).
Aqui já atingimos praticamente f(R)=0 dentro do erro de aproximação numérica.

Passo 6

Interpretação física do resultado: R\approx 2{,}22\\ \mathrm{kpc} é a distância máxima a que uma RR Lyrae com M=0,6\\ \mathrm{mag} pode ser observada com um telescópio de limite m_{\text{lim}}=13\\ \mathrm{mag}, considerando a absorção 0,3\\ \mathrm{mag}/\mathrm{kpc}. Se você estivesse em prova, esse processo de tentativa e ajuste (bissecção/iteração) é totalmente aceitável; só cuide das unidades e da conversão parsec ↔ kpc.

Resposta

\;r_{\max}\approx 2{,}22\\ \mathrm{kpc}\approx 2220\\ \mathrm{pc}

Exercícios relacionados