Um sistema é alimentado por uma fonte de tensão de 208 \mathrm{~V} \angle 0^{\circ}. Quatro cargas estão conectadas a esta fonte sendo: conjunto de 12 lâmpadas de 60 W , um aquecedor elétrico de 6,4 \mathrm{~kW}, um motor com rendimento \eta=82 %, potência de 5 HP , fator de potência 0,72 atrasado, uma carga capacitiva com R=9 \Omega e Xc =12 \Omega.
a) Calcule as potências média, aparente e reativa e o fator de potência para cada ramo
b) Calcule a potência total ativa, reativa e aparente e o fator de potência global
c) Desenhe o triângulo de potências total
d) Calcule a corrente fornecida pela fonte

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede.
Dados do enunciado:
  • Tensão da fonte: \,V = 208\\ \mathrm{V}\angle 0^\circ.
  • Ramo 1: conjunto de 12 lâmpadas de 60\\ \mathrm{W} cada.
  • Ramo 2: aquecedor elétrico de 6{,}4\\ \mathrm{kW} (ou seja 6\,400\\ \mathrm{W}).
  • Ramo 3: motor com potência mecânica nominal 5\\ \mathrm{HP}, rendimento \eta = 82\% e fator de potência 0{,}72 atrasado.
  • Ramo 4: carga capacitiva com R = 9\\ \Omega e X_C = 12\\ \Omega (assim a impedância é Z = 9 - j12\\ \Omega).
O que o enunciado pede:
a) Para cada ramo, calcular potências média (ativa) P, aparente S e reativa Q, e o fator de potência (PF) do ramo.
b) Calcular as potências totais ativa P_{tot}, reativa Q_{tot} e aparente S_{tot} e o fator de potência global.
c) Desenhar (descrever) o triângulo de potências total (valores numéricos e ângulo).
d) Calcular a corrente fornecida pela fonte (módulo e ângulo).
Observações iniciais úteis (vou usar nas contas):
  • Conversão 1\\ \mathrm{HP}=746\\ \mathrm{W}.
  • Para cargas puramente resistivas: Q=0, S=P, \mathrm{PF}=1.
  • Para uma carga com impedância Z: corrente I = V/Z. Potência ativa P = I^2 R. Potência reativa Q = I^2 X (com sinal; para reatância capacitiva X = -X_C, logo Q será negativa).
  • Relações gerais: S = P + jQ, |S| = \sqrt{P^2 + Q^2}, \mathrm{PF} = \dfrac{P}{|S|} = \cos\varphi, onde \varphi é o ângulo de potência (se Q>0 é atrasado/indutivo; se Q<0 é adiantado/capacitivo).
  • Para o motor: potência elétrica absorvida (ativa) P_{\text{in}} = \dfrac{P_{\text{out}}}{\eta}. Onde P_{\text{out}} = 5\\ \mathrm{HP}\times 746\\ \mathrm{W/HP}.

Passo 2

Calcular os valores numéricos de entrada do ramo 1 e 2 (resistivos simples).
Ramo 1 — 12 lâmpadas de 60\\ \mathrm{W}:
P_1 = 12 \times 60 = 720\\ \mathrm{W}.
Como são resistivas:
Q_1 = 0,\qquad S_1 = 720\\ \mathrm{VA},\qquad \mathrm{PF}_1 = 1\\ (\text{neutro}).
Ramo 2 — aquecedor 6{,}4\\ \mathrm{kW}:
P_2 = 6{,}4\\ \mathrm{kW} = 6\,400\\ \mathrm{W}.
Também resistivo:
Q_2 = 0,\qquad S_2 = 6\,400\\ \mathrm{VA},\qquad \mathrm{PF}_2 = 1.
(Explanação curta: cargas puramente resistivas consomem só potência ativa; não trocam energia reativa com a rede, portanto Q=0.)

Passo 3

Calcular para o motor (ramo 3): converter potência mecânica, tirar a potência elétrica ativa absorvida, e obter S e Q a partir do fator de potência.
Passo a passo:
  • Potência mecânica (saída): P_{\text{out}} = 5\\ \mathrm{HP}\times 746\\ \mathrm{W/HP}.
P_{\text{out}} = 5 \times 746 = 3\,730\\ \mathrm{W}.
  • Potência elétrica ativa absorvida (entrada), usando o rendimento \eta = 0{,}82:
P_3 = P_{\text{in}} = \dfrac{P_{\text{out}}}{\eta} = \dfrac{3\,730}{0{,}82} \approx 4\,548{,}78\\ \mathrm{W}.
(Interpretação: para entregar 3\,730\\ \mathrm{W} mecânicos o motor precisa puxar mais \,/ \eta da rede.)
  • Fator de potência do motor: \mathrm{PF}_3 = 0{,}72 (atrasado). Então a potência aparente do motor é
S_3 = \dfrac{P_3}{\mathrm{PF}_3} = \dfrac{4\,548{,}78}{0{,}72} \approx 6\,317{,}17\\ \mathrm{VA}.
  • A potência reativa (indutiva, positiva) é
Q_3 = \sqrt{S_3^2 - P_3^2}.
Uma forma alternativa útil: \tan\varphi = \sqrt{\dfrac{1}{\mathrm{PF}^2}-1}, então Q_3 = P_3 \tan\varphi. Calculando:
\cos\varphi = 0{,}72 \Rightarrow \tan\varphi = \sqrt{\dfrac{1}{0{,}72^2}-1}\approx 0{,}9630,
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Q_3 \approx 4\,548{,}78 \times 0{,}9630 \approx 4\,382{,}02\\ \mathrm{var}.
Resumo do ramo 3:
P_3 \approx 4\,548{,}78\\ \mathrm{W},\quad Q_3 \approx 4\,382{,}02\\ \mathrm{var}\\ (\text{lag}),\quad S_3 \approx 6\,317{,}17\\ \mathrm{VA},\quad \mathrm{PF}_3 = 0{,}72\\ \text{atrasado}.

Passo 4

Calcular para a carga com R=9\\ \Omega e X_C=12\\ \Omega (ramo 4). Aqui a impedância é
Z = 9 - j12\\ \Omega.
  1. Módulo de Z:
|Z| = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15\\ \Omega.
  1. Corrente de linha no ramo 4 (valor rms):
I_4 = \dfrac{V}{|Z|} = \dfrac{208}{15} \approx 13{,}8667\\ \mathrm{A}.
O ângulo de Z é \theta_Z = \arctan\!\left(\dfrac{-12}{9}\right) = -53{,}13^\circ. Então I_4 = 13{,}8667\\ \angle 53{,}13^\circ (corrente adiantada em relação à tensão, típico de carga capacitiva).
  1. Potências do ramo 4:
  • Potência ativa
P_4 = I_4^2 R = \left(\dfrac{208}{15}\right)^2 \times 9 = \dfrac{208^2 \times 9}{15^2} = \dfrac{43\,264 \times 9}{225} \approx 1\,730{,}56\\ \mathrm{W}.
  • Potência reativa (aqui capacitiva, portanto negativa)
Q_4 = I_4^2 \times (-X_C) = \left(\dfrac{208}{15}\right)^2 \times (-12) = -\dfrac{43\,264 \times 12}{225} \approx -2\,307{,}41\\ \mathrm{var}.
  • Potência aparente
S_4 = |S_4| = V\,I_4 = \dfrac{208^2}{15} = \dfrac{43\,264}{15} \approx 2\,884{,}27\\ \mathrm{VA}.
  • Fator de potência do ramo 4:
\mathrm{PF}_4 = \dfrac{P_4}{S_4} \approx \dfrac{1\,730{,}56}{2\,884{,}27} \approx 0{,}5996 \quad(\text{adiantado, pois }Q_4<0).
Resumo do ramo 4:
P_4 \approx 1\,730{,}56\\ \mathrm{W},\quad Q_4 \approx -2\,307{,}41\\ \mathrm{var},\quad S_4 \approx 2\,884{,}27\\ \mathrm{VA},\quad \mathrm{PF}_4 \approx 0{,}5996\\ \text{adiantado}.

Passo 5

Reunir todos os resultados por ramo (resumo do item a). Já calculei os quatro ramos; aqui agrupamos antes de somar.
Ramo 1 (lâmpadas):
P_1 = 720\\ \mathrm{W},\quad Q_1 = 0,\quad S_1 = 720\\ \mathrm{VA},\quad \mathrm{PF}_1 = 1.
Ramo 2 (aquecedor):
P_2 = 6\,400\\ \mathrm{W},\quad Q_2 = 0,\quad S_2 = 6\,400\\ \mathrm{VA},\quad \mathrm{PF}_2 = 1.
Ramo 3 (motor):
P_3 \approx 4\,548{,}78\\ \mathrm{W},\quad Q_3 \approx 4\,382{,}02\\ \mathrm{var},\quad S_3 \approx 6\,317{,}17\\ \mathrm{VA},\quad \mathrm{PF}_3 = 0{,}72\\ \text{(lag)}.
Ramo 4 (carga R-jXc):
P_4 \approx 1\,730{,}56\\ \mathrm{W},\quad Q_4 \approx -2\,307{,}41\\ \mathrm{var},\quad S_4 \approx 2\,884{,}27\\ \mathrm{VA},\quad \mathrm{PF}_4 \approx 0{,}5996\\ \text{(lead)}.
(Estes atendem o item a).)

Passo 6

Calcular as potências totais somando componentes reais e imaginárias (item b).
Soma das potências ativas:
P_{\text{tot}} = P_1 + P_2 + P_3 + P_4 = 720 + 6\,400 + 4\,548{,}78 + 1\,730{,}56 \approx 13\,399{,}34\\ \mathrm{W}.
Soma das potências reativas (atenção ao sinal de Q_4):
Q_{\text{tot}} = Q_1 + Q_2 + Q_3 + Q_4 = 0 + 0 + 4\,382{,}02 + (-2\,307{,}41) \approx 2\,074{,}61\\ \mathrm{var}.
(Como Q_{\text{tot}}>0, o conjunto é indutivo/atrasado.)
Potência aparente total (módulo do vetor complexo total):
S_{\text{tot}} = \sqrt{P_{\text{tot}}^2 + Q_{\text{tot}}^2} \approx \sqrt{(13\,399{,}34)^2 + (2\,074{,}61)^2} \approx 13\,561{,}5\\ \mathrm{VA}.
Fator de potência global:
\mathrm{PF}_{\text{global}} = \dfrac{P_{\text{tot}}}{S_{\text{tot}}} \approx \dfrac{13\,399{,}34}{13\,561{,}5} \approx 0{,}988\\ (\text{atrasado}).
Ângulo de potência total:
\varphi_{\text{tot}} = \arctan\!\left(\dfrac{Q_{\text{tot}}}{P_{\text{tot}}}\right) \approx \arctan\!\left(\dfrac{2\,074{,}61}{13\,399{,}34}\right) \approx 8{,}83^\circ\\ (\text{atrasado}).

Passo 7

Descrever (desenhar numericamente) o triângulo de potências total (item c).
Triângulo de potências:
  • Eixo horizontal (base): potência ativa P_{\text{tot}} \approx 13\,399{,}34\\ \mathrm{W}.
  • Eixo vertical (altura): potência reativa Q_{\text{tot}} \approx 2\,074{,}61\\ \mathrm{var} (positiva para cima, indicando indutiva/atrasada).
  • Hipotenusa: potência aparente S_{\text{tot}} \approx 13\,561{,}5\\ \mathrm{VA}.
  • Ângulo entre P_{\text{tot}} e S_{\text{tot}}: \varphi_{\text{tot}}\approx 8{,}83^\circ (atrasado).
(Interpretando: triângulo retângulo com catetos 13{,}399{,}34 e 2{,}074{,}61 e hipotenusa 13{,}561{,}5.)

Passo 8

Calcular a corrente fornecida pela fonte (item d). Usando a relação complexa entre potências e corrente:
S_{\text{tot}} = P_{\text{tot}} + jQ_{\text{tot}} = V\,I^* \quad\Rightarrow\quad I = \dfrac{S_{\text{tot}}^*}{V}.
Com V = 208\angle 0^\circ (real), uma forma prática é:
I = \dfrac{P_{\text{tot}} - jQ_{\text{tot}}}{V}.
Calculando componentes:
I_{\text{real}} = \dfrac{P_{\text{tot}}}{V} \approx \dfrac{13\,399{,}34}{208} \approx 64{,}376\\ \mathrm{A},
I_{\text{imag}} = -\dfrac{Q_{\text{tot}}}{V} \approx -\dfrac{2\,074{,}61}{208} \approx -9{,}973\\ \mathrm{A}.
Assim a corrente complexa é
I \approx 64{,}376 - j9{,}973\\ \mathrm{A}.
Módulo e ângulo:
|I| = \dfrac{S_{\text{tot}}}{V} \approx \dfrac{13\,561{,}5}{208} \approx 65{,}17\\ \mathrm{A},
\angle I = -\varphi_{\text{tot}} \approx -8{,}83^\circ
(ângulo negativo mostra que a corrente está atrasada em relação à tensão, consistente com Q_{\text{tot}}>0).

Resposta

a) Ramo 1 (lâmpadas): P_1 = 720\\ \mathrm{W},\\ Q_1 = 0\\ \mathrm{var},\\ S_1 = 720\\ \mathrm{VA},\\ \mathrm{PF}_1 = 1.
a) Ramo 2 (aquecedor): P_2 = 6\,400\\ \mathrm{W},\\ Q_2 = 0\\ \mathrm{var},\\ S_2 = 6\,400\\ \mathrm{VA},\\ \mathrm{PF}_2 = 1.
a) Ramo 3 (motor): P_3 \approx 4\,548{,}78\\ \mathrm{W},\\ Q_3 \approx 4\,382{,}02\\ \mathrm{var}\\ \text{(atrasado)},\\ S_3 \approx 6\,317{,}17\\ \mathrm{VA},\\ \mathrm{PF}_3 = 0{,}72\\ \text{atrasado}.
a) Ramo 4 (R -jXc): P_4 \approx 1\,730{,}56\\ \mathrm{W},\\ Q_4 \approx -2\,307{,}41\\ \mathrm{var}\\ \text{(adiantado)},\\ S_4 \approx 2\,884{,}27\\ \mathrm{VA},\\ \mathrm{PF}_4 \approx 0{,}5996\\ \text{adiantado}.
b) Potências totais e PF global: P_{\text{tot}} \approx 13\,399{,}34\\ \mathrm{W},\\ Q_{\text{tot}} \approx 2\,074{,}61\\ \mathrm{var},\\ S_{\text{tot}} \approx 13\,561{,}5\\ \mathrm{VA},\\ \mathrm{PF}_{\text{global}} \approx 0{,}988\\ \text{(atrasado)}.
c) Triângulo total: cateto ativo P_{\text{tot}} \approx 13\,399{,}34\\ \mathrm{W}, cateto reativo Q_{\text{tot}} \approx 2\,074{,}61\\ \mathrm{var} (positivo, indutivo), hipotenusa S_{\text{tot}} \approx 13\,561{,}5\\ \mathrm{VA}, ângulo \varphi_{\text{tot}} \approx 8{,}83^\circ (atrasado).
d) Corrente fornecida pela fonte: I \approx 64{,}38 - j9{,}97\\ \mathrm{A}, ou em forma polar I \approx 65{,}17\\ \mathrm{A}\angle -8{,}83^\circ.

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