Considere um motor de 2 kW operando com fator de potência 0,7 atrasado, conectado a uma rede de 220 V e 60 Hz . Qual é o valor da capacitância paralela necessária para corrigir o fator de potência para 0,9 indutivo?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar tudo limpinho):
  • Potência ativa do motor: P=2{,}0\\ \text{kW}.
  • Fator de potência inicial: \text{pf}_1=0{,}7 atrasado (ou seja, \text{pf}_1=0{,}7 lagging).
  • Tensão da rede: V=220\\ \text{V} (valor eficaz).
  • Frequência: f=60\\ \text{Hz}.
  • Objetivo: acrescentar uma capacitância em paralelo de modo que o fator de potência resultante seja \text{pf}_2=0{,}9 indutivo (isto é, ainda lagging, mas com \text{pf}=0{,}9).
O que o problema pede explicitamente: encontrar o valor da capacitância C em farads necessária para corrigir o fator de potência de 0{,}7 para 0{,}9 (ambos atrasados), quando a tensão e a frequência da rede são dadas.

Passo 2

Entendendo a física e as fórmulas que vamos usar (aulas rápidas):
  • A potência aparente S (em VA) relaciona-se com potência ativa P (W) e reativa Q (VAR) pelo triângulo de potências:
S=\sqrt{P^{2}+Q^{2}}.
  • O fator de potência \text{pf} é \text{pf}=\cos\varphi, onde \varphi é o ângulo de fase entre tensão e corrente. Assim,
\varphi=\operatorname{arccos}(\text{pf}).
  • A potência reativa pode ser obtida também por
Q=P\tan\varphi,
porque \tan\varphi=Q/P.
  • Um capacitor conectado em paralelo fornece potência reativa capacitiva (queda de necessidade reativa indutiva). A magnitude da potência reativa fornecida por um capacitor é
Q_{C}=V_{\text{rms}}^{2}\,\omega C,
onde \omega=2\pi f. Aqui Q_{C} vem em VAR; para compensar uma carga indutiva precisamos que Q_{C} seja igual à diferença entre a reativa original e a reativa desejada:
Q_{C}=Q_{1}-Q_{2},
onde Q_{1} é a reativa do motor antes da correção e Q_{2} é a reativa desejada depois da correção.
Explicando as variáveis:
  • P é a potência ativa em watts.
  • \text{pf} é o fator de potência (adiantado/atrasado define sinal da reativa; aqui ambos atrasados).
  • \varphi é o ângulo de fase: \cos\varphi=\text{pf}.
  • Q é potência reativa (VAR).
  • V é tensão eficaz (V).
  • f é frequência (Hz).
  • \omega=2\pi f é a pulsação angular (rad/s).
  • C é capacitância (F).

Passo 3

Calcular a reativa inicial Q_{1} (antes da correção).
  • Primeiro, converto P para watts: P=2{,}0\\ \text{kW}=2000\\ \text{W}.
  • Ângulo inicial:
\varphi_{1}=\operatorname{arccos}(0{,}7).
Não vou usar calculadora trig complicada: para obter \tan\varphi_{1} podemos usar
\tan\varphi_{1}=\sqrt{\frac{1}{\text{pf}_{1}^{2}}-1}.
Logo,
\tan\varphi_{1}=\sqrt{\frac{1}{0{,}7^{2}}-1}=\sqrt{\frac{1}{0{,}49}-1}=\sqrt{2{,}0408163265-1}=\sqrt{1{,}0408163265}\approx1{,}020234.
  • Potência reativa inicial:
Q_{1}=P\tan\varphi_{1}=2000\cdot1{,}020234\approx2040{,}47\\ \text{VAR}.

Passo 4

Calcular a reativa desejada Q_{2} (após a correção, com \text{pf}=0{,}9).
  • Ângulo desejado:
\varphi_{2}=\operatorname{arccos}(0{,}9).
Usando a mesma ideia para \tan\varphi_{2}:
\tan\varphi_{2}=\sqrt{\frac{1}{0{,}9^{2}}-1}=\sqrt{\frac{1}{0{,}81}-1}=\sqrt{1{,}234567901-1}=\sqrt{0{,}234567901}\approx0{,}484123.
  • Potência reativa desejada:
Q_{2}=P\tan\varphi_{2}=2000\cdot0{,}484123\approx968{,}25\\ \text{VAR}.

Passo 5

Calcular a potência reativa que o capacitor deve fornecer:
Q_{C}=Q_{1}-Q_{2}\approx2040{,}47-968{,}25\approx1072{,}22\\ \text{VAR}.
Observação conceitual rápida: como ambos os fatores são atrasados (indutivos), o capacitor só precisa compensar parte da reativa indutiva, deixando uma reativa residual correspondente ao \text{pf}=0{,}9.

Passo 6

Relacionar Q_{C} com a capacitância C e resolver:
  • Fórmula do capacitor em paralelo:
Q_{C}=V^{2}\,\omega\,C,
com \omega=2\pi f. Então
C=\frac{Q_{C}}{V^{2}\,2\pi f}.
Substituindo números (atenção às unidades; Q_{C} em VAR, V em V, f em Hz):
C=\frac{1072{,}22}{220^{2}\cdot2\pi\cdot60}.
Calculo passo a passo:
220^{2}=48400,
2\pi\cdot60\approx376{,}9911184,
48400\cdot376{,}9911184\approx18\,246\,370{,}13.
Portanto
C\approx\frac{1072{,}22}{18\,246\,370{,}13}\approx5{,}88\times10^{-5}\\ \text{F}.
Em unidades mais usuais:
C\approx5{,}88\times10^{-5}\\ \text{F}=58{,}8\\ \mu\text{F}.

Resposta

C\approx5{,}88\times10^{-5}\\ \text{F}\approx58{,}8\\ \mu\text{F}

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