Um sistema CBA trifásico, a três condutores, 173,2 volts, alimenta três cargas equilibradas, constituídas como se segue: três impedâncias de 10 / 0^circ ohms, ligadas em estrela, três impedâncias de 24 / 90^circ ohms, ligadas em triângulo, e três impedâncias iguais desconhecidas, ligadas em triângulo. Determinar o valor da impedância desconhecida, sabendo que a corrente na linha A, positiva quando se dirige para a carga, é igual a 32,7 /-138,1^circ ampères.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos um sistema trifásico equilibrado 173,2 V (tensão entre linhas) alimentando três cargas também equilibradas:
  1. Três impedâncias em estrela de 10ang<= 0^circ Omega.
  2. Três impedâncias em triângulo de 24ang<= 90^circ Omega.
  3. Três impedâncias idênticas em triângulo, mas com valor desconhecido Zx.
Nos pedem para achar esse Zx, sabendo que a corrente na linha A (indo para a carga) é
IA = 32,7ang<= -138,1^circ A
Conteúdo: análise de sistemas trifásicos equilibrados, conversão Δ–Y (triângulo para estrela), além de cálculos de admitâncias ( Y=1/Z). Vamos precisar:
  • Calcular a tensão de fase a partir da tensão de linha.
  • Converter as impedâncias em triângulo para equivalentes em estrela (e daí para admitância).
  • Somar admitâncias para achar a admitância total por fase.
  • Resolver para a admitância da carga desconhecida e inverter para achar Zx.

Passo 2

Primeiro achamos a tensão de fase (V) a partir da tensão linha-linha (173,2 V). Em sistema equilibrado e estrela:
Vf = VLLraiz3 = 173,2raiz3approx 100ang<= 0^circ V
Isso vale porque, em estrela, cada fase “vê” a tensão de linha dividida por raiz3, e podemos escolher a fase A como referência de 0°.

Passo 3

Transformar cada carga em admitância por fase:
  1. Estrela 10ang<=0^circ Omega: Ys = 110ang<=0^circ = 0,1ang<=0^circ S
    2) Triângulo 24ang<=90^circ Omega: para converter em estrela dividimos a impedância por 3:
    ZDedaí Yd1 = 18ang<=90^circ = 0,125ang<=-90^circ S
    3) Triângulo desconhecido Zx: ao converter para estrela fica Zx/3, logo a admitância por fase é
    Yx = 1Zx/3 = 3Zx (ainda em função de Zx)çã

Passo 4

A admitância total por fase (soma de todas) deve satisfazer
IA = Vf;Yrm total,
ou seja
$$Y_{\rm total} = \frac{I_A}{V_f} = \frac{32{,}7\angle{-138{,}1\circ}}{100\angle0\circ}
= 0{,}327\angle{-138{,}1^\circ}\ S.$$

Passo 5

Agora separamos a parte conhecida e a parte desconhecida:
$$Y_{\rm total} = Y_s + Y_{d1} + Y_x
;\Longrightarrow;Y_x = Y_{\rm total} - \bigl(Y_s + Y_{d1}\bigr).$$
Em forma retangular:
- Yrm total = Ys + Yd1 + Yx ;Longrightarrow;Yx = Yrm total - l(Ys + Yd1r)
- Yrm total = 0,327ang<=-138,1^circapprox -0,2446 - j,0,2187 S
Logo
$$Y_x = \bigl(-0{,}2446 - j,0{,}2187\bigr);-;\bigl(0{,}1 - j,0{,}125\bigr)
= -0{,}3446 ;-; j,0{,}0937\ S.$$

Passo 6

Só falta voltar para Zx (que é a impedância em triângulo por fase vezes 3), mas lembre que definimos Yx=3/Zx, logo
$$Z_x = \frac{3}{Y_x} = \frac{3}{0{,}3573\angle{-164{,}8^\circ}}
\approx 8{,}40\angle{164{,}8^\circ}\ \Omega.$$
(observe que Zx = 3Yx = 30,3573ang<=-164,8^circ approx 8,40ang<=164,8^circ Omega e |Yx|=raiz0,3446^2+0,0937^2approx0,3573)

Resposta

A impedância desconhecida em cada braço do triângulo vale aproximadamente
boxedZx = 8,4ang<= 165^circ Omega

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