Um sistema de computador gera senhas de 5 caracteres. O primeiro caractere deve ser uma vogal (A, E, I, O, U) e os quatro restantes devem ser algarismos ( 0 a 9 ). Permitindo repetições, quantas senhas possíveis existem?
Passo 1
O enunciado diz que uma senha tem 5 caracteres. As restrições são:
- O primeiro caractere deve ser uma vogal, ou seja, pertence ao conjunto
. - Os quatro caracteres restantes devem ser algarismos, cada um entre
e . - Repetições são permitidas (por exemplo, a mesma vogal ou o mesmo dígito podem aparecer várias vezes).
A pergunta é: quantas senhas possíveis existem que satisfazem essas regras?
Passo 2
Princípio básico que vamos usar (Regra do Produto): se uma escolha é feita em etapas independentes e a etapa 1 tem
opções, a etapa 2 tem
opções, …, então o total de combinações possíveis é o produto
.
Exemplo curto para fixar a ideia: se há 3 camisas e 2 calças, o número de conjuntos camisa+calça é .
Exemplo curto para fixar a ideia: se há 3 camisas e 2 calças, o número de conjuntos camisa+calça é
Passo 3
Aplicando a regra ao nosso problema: conte as opções para cada posição.
Para a primeira posição (vogal) há exatamente
opções porque as vogais são
. Portanto o número de escolhas para o primeiro caractere é
.
Passo 4
Para cada uma das quatro posições seguintes (cada um é um algarismo de
a
) há
opções. Como as posições são independentes e repetições são permitidas, o número de formas de preencher as quatro posições de dígitos é
Calculemos
:
Passo 5
Agora multiplicamos as opções da primeira posição pelas opções das quatro posições de dígitos (regra do produto):
Substituindo
,
Passo 6
Interpretação rápida e checagem: cada uma das 5 vogais pode preceder qualquer um dos
números formados por quatro dígitos (de
a
), logo
. Um caso menor para confirmar a intuição: se houvesse só 1 dígito após a vogal, seriam
senhas — consistente com a regra do produto.