Um sistema de computador gera senhas de 5 caracteres. O primeiro caractere deve ser uma vogal (A, E, I, O, U) e os quatro restantes devem ser algarismos ( 0 a 9 ). Permitindo repetições, quantas senhas possíveis existem?

Passo 1

O enunciado diz que uma senha tem 5 caracteres. As restrições são:
  • O primeiro caractere deve ser uma vogal, ou seja, pertence ao conjunto \{A,E,I,O,U\}.
  • Os quatro caracteres restantes devem ser algarismos, cada um entre \,0 e \,9.
  • Repetições são permitidas (por exemplo, a mesma vogal ou o mesmo dígito podem aparecer várias vezes).
A pergunta é: quantas senhas possíveis existem que satisfazem essas regras?

Passo 2

Princípio básico que vamos usar (Regra do Produto): se uma escolha é feita em etapas independentes e a etapa 1 tem \,a opções, a etapa 2 tem \,b opções, …, então o total de combinações possíveis é o produto \,a\cdot b\cdot\ldots.
Exemplo curto para fixar a ideia: se há 3 camisas e 2 calças, o número de conjuntos camisa+calça é 3\cdot 2=6.

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso problema: conte as opções para cada posição.
Para a primeira posição (vogal) há exatamente \,5 opções porque as vogais são A,E,I,O,U. Portanto o número de escolhas para o primeiro caractere é \,5.

Passo 4

Para cada uma das quatro posições seguintes (cada um é um algarismo de \,0 a \,9) há \,10 opções. Como as posições são independentes e repetições são permitidas, o número de formas de preencher as quatro posições de dígitos é
10\cdot 10\cdot 10\cdot 10 = 10^{4}.
Calculemos 10^{4}:
10^{4}=10000.

Passo 5

Agora multiplicamos as opções da primeira posição pelas opções das quatro posições de dígitos (regra do produto):
\text{total} = 5 \cdot 10^{4}.
Substituindo 10^{4}=10000,
\text{total} = 5\cdot 10000 = 50000.

Passo 6

Interpretação rápida e checagem: cada uma das 5 vogais pode preceder qualquer um dos 10000 números formados por quatro dígitos (de \,0000 a \,9999), logo 5\times 10000=50000. Um caso menor para confirmar a intuição: se houvesse só 1 dígito após a vogal, seriam 5\cdot 10=50 senhas — consistente com a regra do produto.

Resposta

50000

Exercícios relacionados