De quantas maneiras 5 pessoas podem se posicionar em uma fila de banco?
Passo 1
O enunciado pede: “De quantas maneiras 5 pessoas podem se posicionar em uma fila de banco?”
Informações dadas e assumidas (peguei do enunciado):
Informações dadas e assumidas (peguei do enunciado):
- Há
pessoas distintas (ou seja, cada pessoa é identificável). - As pessoas devem formar uma fila (ordem importa).
A pergunta é: calcular o número total de ordenações possíveis dessaspessoas.
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado devagar): princípio multiplicativo de contagem.
Esse princípio diz que se uma sequência de escolhas tem etapas sucessivas, e a primeira etapa pode ser feita de maneiras, a segunda de
maneiras (independentemente da primeira), a terceira de
maneiras, etc., então o total de sequências possíveis é
.
No nosso caso, cada “etapa” é escolher quem ocupa a próxima posição na fila. Como uma vez escolhida uma pessoa ela não pode ocupar outra posição, o número de opções diminui a cada etapa.
Esse princípio diz que se uma sequência de escolhas tem etapas sucessivas, e a primeira etapa pode ser feita de
No nosso caso, cada “etapa” é escolher quem ocupa a próxima posição na fila. Como uma vez escolhida uma pessoa ela não pode ocupar outra posição, o número de opções diminui a cada etapa.
Passo 3
Aplicando ao problema: vamos preencher as posições da fila da esquerda para a direita.
- Para a primeira posição há
opções (qualquer uma das pessoas). - Depois de escolher para a primeira, para a segunda posição restam
opções. - Para a terceira restam
opções. - Para a quarta restam
opções. - Para a quinta (última) resta
opção.
Pelo princípio multiplicativo, o total de filas é o produto dessas quantidades:
Passo 4
Introduzindo o conceito de fatorial: para um inteiro
, define-se
No nosso caso isso é exatamente
. Então o número de arranjos é
Passo 5
Cálculo passo a passo (sem pular etapas):
Logo
. Um jeito de visualizar: se as pessoas forem
, algumas filas possíveis são
,
,
, etc.; no total são
diferentes.
Passo 6
Pequena generalização útil para a prova: se houver
pessoas distintas, o número de maneiras de arranjá-las em fila é
. Isso aparece frequentemente em questões de contagem e probabilidade — guardar essa fórmula economiza tempo.
Resposta
120