De quantas maneiras 5 pessoas podem se posicionar em uma fila de banco?

Passo 1

O enunciado pede: “De quantas maneiras 5 pessoas podem se posicionar em uma fila de banco?”
Informações dadas e assumidas (peguei do enunciado):
  • 5 pessoas distintas (ou seja, cada pessoa é identificável).
  • As pessoas devem formar uma fila (ordem importa).
    A pergunta é: calcular o número total de ordenações possíveis dessas 5 pessoas.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado devagar): princípio multiplicativo de contagem.
Esse princípio diz que se uma sequência de escolhas tem etapas sucessivas, e a primeira etapa pode ser feita de a maneiras, a segunda de b maneiras (independentemente da primeira), a terceira de c maneiras, etc., então o total de sequências possíveis é a\cdot b\cdot c\cdots.
No nosso caso, cada “etapa” é escolher quem ocupa a próxima posição na fila. Como uma vez escolhida uma pessoa ela não pode ocupar outra posição, o número de opções diminui a cada etapa.

Passo 3

Aplicando ao problema: vamos preencher as posições da fila da esquerda para a direita.
  • Para a primeira posição há 5 opções (qualquer uma das 5 pessoas).
  • Depois de escolher para a primeira, para a segunda posição restam 4 opções.
  • Para a terceira restam 3 opções.
  • Para a quarta restam 2 opções.
  • Para a quinta (última) resta 1 opção.
    Pelo princípio multiplicativo, o total de filas é o produto dessas quantidades:
5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1.

Passo 4

Introduzindo o conceito de fatorial: para um inteiro n\ge1, define-se
n! = n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots 2\cdot 1.
No nosso caso isso é exatamente 5!. Então o número de arranjos é
5! = 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1.

Passo 5

Cálculo passo a passo (sem pular etapas):
5\cdot 4 = 20,
20\cdot 3 = 60,
60\cdot 2 = 120,
120\cdot 1 = 120.
Logo 5! = 120. Um jeito de visualizar: se as pessoas forem A,B,C,D,E, algumas filas possíveis são A,B,C,D,E, A,B,C,E,D, B,A,C,D,E, etc.; no total são 120 diferentes.

Passo 6

Pequena generalização útil para a prova: se houver n pessoas distintas, o número de maneiras de arranjá-las em fila é n!. Isso aparece frequentemente em questões de contagem e probabilidade — guardar essa fórmula economiza tempo.

Resposta

120

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