Um sistema de controle de nível de um tanque é descrito por:
\frac{H(s)}{Q_{i}(s)}=\frac{R}{R C s+1}
Se a área (capacitância) do tanque é 2 m^{2}, projete o valor de R para garantir um tempo de acomodação de 4000 s ?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados importantes):
  • Função de transferência entre nível e vazão de entrada:
\frac{H(s)}{Q_{i}(s)}=\frac{R}{R C s+1}.
  • A área (capacitância hidráulica) do tanque é C=2\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Deseja-se garantir um tempo de acomodação (tempo de assentamento) de 4000\\ \mathrm{s}.
    O que se pede: projetar (determinar) o valor de R que assegura esse tempo de acomodação.

Passo 2

Identificar a forma padrão do sistema e a constante de tempo:
A função dada é a de um sistema de primeira ordem no formato padrão
G(s)=\frac{K}{\tau s+1},
onde \tau é a constante de tempo do sistema. Comparando com a função dada, tem-se
\tau = R C.
Explicação didática: a constante de tempo \tau determina a velocidade de resposta do sistema. Para uma entrada degrau, a resposta típica de um sistema de primeira ordem tem a forma (normalizada):
y(t)=1-e^{-t/\tau},
ou seja, o erro em relação ao valor final decai exponencialmente com constante \tau.

Passo 3

Definir o critério de tempo de acomodação e a relação com \tau:
O “tempo de acomodação” costuma ser definido como o tempo necessário para a resposta entrar e permanecer dentro de uma banda de tolerância ao redor do valor final. O critério mais usado é o critério dos 2\%: o tempo de acomodação T_s é o tempo para o erro permanecer dentro de 2\% do valor final. Para um sistema de primeira ordem a condição é
e^{-T_s/\tau}\le 0,02.
Tomando logaritmo:
T_s \ge -\tau \ln(0,02)\approx 3{,}912\,\tau.
Na prática de projeto costuma-se usar a aproximação simples
T_s \approx 4\tau,
que é muito próxima do valor exato e facilita cálculos rápidos à mão (útil em provas).

Passo 4

Calcular \tau a partir do tempo de acomodação pedido usando a aproximação T_s\approx 4\tau:
\tau \approx \frac{T_s}{4}=\frac{4000\\ \mathrm{s}}{4}=1000\\ \mathrm{s}.
Explicação: aqui estamos assumindo o critério de 2\% e a aproximação convencional T_s\approx4\tau. Isso dá uma constante de tempo de 1000\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Determinar R a partir de \tau e do valor de C:
Como \tau=R C, temos
R=\frac{\tau}{C}.
Substituindo \tau=1000\\ \mathrm{s} e C=2\\ \mathrm{m^{2}},
R=\frac{1000\\ \mathrm{s}}{2\\ \mathrm{m^{2}}}=500\\ \mathrm{s/m^{2}}.
Observação sobre unidades: R tem dimensão de tempo por área (no contexto hidráulico, \mathrm{s/m^{2}}), pois transforma uma vazão (m^{3}/s) em altura (m).

Passo 6

Comentário sobre precisão e alternativa (opcional):
Se quiser usar o valor exato a partir de T_s=-\tau\ln(0,02), calcula-se
\tau_{\text{exato}}=\frac{4000}{-\ln(0,02)}\approx 1022{,}7\\ \mathrm{s},
o que levaria a
R_{\text{exato}}\approx\frac{1022{,}7}{2}\approx 511{,}35\\ \mathrm{s/m^{2}}.
Ambos os valores (aproximado 500 e exato \approx511{,}35) são aceitáveis dependendo da exigência de precisão; o procedimento de projeto e o raciocínio mostrado vale para a prova.

Resposta

R=500\\ \mathrm{s/m^{2}}

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