Um sistema de controle de nível de um tanque é descrito por:
Se a área (capacitância) do tanque é
, projete o valor de
para garantir um tempo de acomodação de
?
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados importantes):
- Função de transferência entre nível e vazão de entrada:
- A área (capacitância hidráulica) do tanque é
. - Deseja-se garantir um tempo de acomodação (tempo de assentamento) de
.
O que se pede: projetar (determinar) o valor deque assegura esse tempo de acomodação.
Passo 2
Identificar a forma padrão do sistema e a constante de tempo:
A função dada é a de um sistema de primeira ordem no formato padrão
A função dada é a de um sistema de primeira ordem no formato padrão
onde
é a constante de tempo do sistema. Comparando com a função dada, tem-se
Explicação didática: a constante de tempo
determina a velocidade de resposta do sistema. Para uma entrada degrau, a resposta típica de um sistema de primeira ordem tem a forma (normalizada):
ou seja, o erro em relação ao valor final decai exponencialmente com constante
.
Passo 3
Definir o critério de tempo de acomodação e a relação com
:
O “tempo de acomodação” costuma ser definido como o tempo necessário para a resposta entrar e permanecer dentro de uma banda de tolerância ao redor do valor final. O critério mais usado é o critério dos : o tempo de acomodação
é o tempo para o erro permanecer dentro de
do valor final. Para um sistema de primeira ordem a condição é
O “tempo de acomodação” costuma ser definido como o tempo necessário para a resposta entrar e permanecer dentro de uma banda de tolerância ao redor do valor final. O critério mais usado é o critério dos
Tomando logaritmo:
Na prática de projeto costuma-se usar a aproximação simples
que é muito próxima do valor exato e facilita cálculos rápidos à mão (útil em provas).
Passo 4
Calcular
a partir do tempo de acomodação pedido usando a aproximação
:
Explicação: aqui estamos assumindo o critério de
e a aproximação convencional
. Isso dá uma constante de tempo de
.
Passo 5
Determinar
a partir de
e do valor de
:
Como , temos
Como
Substituindo
e
,
Observação sobre unidades:
tem dimensão de tempo por área (no contexto hidráulico,
), pois transforma uma vazão (m^{3}/s) em altura (m).
Passo 6
Comentário sobre precisão e alternativa (opcional):
Se quiser usar o valor exato a partir de , calcula-se
Se quiser usar o valor exato a partir de
o que levaria a
Ambos os valores (aproximado
e exato
) são aceitáveis dependendo da exigência de precisão; o procedimento de projeto e o raciocínio mostrado vale para a prova.