Um sistema de controle possui a seguinte primeira coluna Tabela de Routh da equação característica em malha fechada em função de um parâmetro K (real e positivo)
s^3 1
s^2 2
s^1 K-8
s^0 2-K
Marque a alternativa correta:
a) É possível estabilizar o sistema com K>8
b) É possível estabilizar o sistema com 0
c) É possível estabilizar o sistema com K>2
d) É possível estabilizar o sistema com 2
e) É impossível estabilizar o sistema em malha fechada

Passo 1

Beleza, vamos desenrolar o que o exercício tá pedindo. Temos uma Tabela de Routh pra equação característica de malha fechada que depende de um parâmetro real e positivo K. Queremos saber pra quais valores de K o sistema fica estável. O conteúdo aqui é o critério de estabilidade de Routh–Hurwitz, e o que a gente vai precisar é exigir que todos os elementos da primeira coluna da tabela sejam positivos.

Passo 2

Antes de partir pras contas, lembra do critério de Routh–Hurwitz: um sistema é estável se, e somente se, todos os termos da primeira coluna da Tabela de Routh forem maiores que zero. Se qualquer um deles for zero ou negativo, já era, rola instabilidade.

Passo 3

Agora vamos ver cada entrada da primeira coluna que vieram na tabela:
  1. Linha s^3: ;1.
    Condição: 1 > 0. Tá sempre ok (sempre positivo).
  2. Linha s^2: ;2.
    Condição: 2 > 0. Também sempre ok.
  3. Linha s^1: ;K - 8.
    Condição:
    K - 8 > 0 Longrightarrow K > 8
  4. Linha s^0: ;2 - K.
    Condição:
    2 - K > 0 Longrightarrow K < 2

Passo 4

Resumindo as condições não-triviais:
  • Da linha s^1: K > 8
  • Da linha s^0: K < 2
Pra o sistema ser estável, ambas precisariam valer ao mesmo tempo, mas é impossível ter um número real que seja maior que 8 e menor que 2 simultaneamente. Logo não tem jeito de satisfazer tudo.

Resposta

É impossível estabilizar o sistema em malha fechada. (Alternativa e.)

Exercícios relacionados