Um sistema de controle com realimentação unitária para um testador de suspensão de automóvel tem a função de transferência de malha
L(s)=G(s) H(s)=\frac{K(s+3)^{2}}{s^{2}(s+10)} .
Desejamos que as raízes dominantes tenham o maior valor possível da parte imaginária. Usando o lugar das raízes, mostre que é necessário K=8,67 e que as raízes dominantes são s=-1,5 \pm j 1,65.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema de realimentação unitária cuja função de laço é
L(s)=G(s)H(s)=\frac{K\,(s+3)^{2}}{s^{2}(s+10)},
e pede que escolhamos o ganho K de modo que as raízes dominantes do sistema em malha fechada tenham a maior parte imaginária possível. Para isso vamos usar o lugar das raízes, que se baseia nas condições de ângulo e de módulo de
1+L(s)=0.

Passo 2

Escrevemos a equação característica
1+L(s)=0 \quad\Longrightarrow\quad s^{2}(s+10)+K\,(s+3)^{2}=0.
No lugar das raízes, qualquer ponto s=\sigma+j\omega deve satisfazer a condição de ângulo
\underbrace{2\arg(s)}_{2\angle s} +\underbrace{\arg(s+10)}_{\angle(s+10)} -\underbrace{2\arg(s+3)}_{2\angle(s+3)} =(2k+1)\pi,
tomando k=0 para a primeira volta, o que dá
2\arctan\!\bigl(\tfrac{\omega}{\sigma}\bigr) +\arctan\!\bigl(\tfrac{\omega}{\sigma+10}\bigr) -2\arctan\!\bigl(\tfrac{\omega}{\sigma+3}\bigr) =\pi.

Passo 3

Para achar o ponto de máxima \omega no ramo complexo, impomos que sobre essa curva \omega(\sigma) a derivada d\omega/d\sigma seja zero. Resolvendo numericamente (por tentativa ou software) o sistema
\begin{cases} 2\arctan\bigl(\tfrac{\omega}{\sigma}\bigr) +\arctan\bigl(\tfrac{\omega}{\sigma+10}\bigr) -2\arctan\bigl(\tfrac{\omega}{\sigma+3}\bigr)=\pi,\\[6pt] \displaystyle \frac{d\omega}{d\sigma}=0 \end{cases}
obtém-se
\sigma=-1{,}5,\quad \omega=1{,}65,
ou seja, as raízes dominantes ficam em
s=-1{,}5\pm j\,1{,}65.]

Passo 4

Finalmente usamos a condição de módulo
\bigl|L(s)\bigr|=1 \quad\Longrightarrow\quad K =\Bigl|\frac{s^{2}(s+10)}{(s+3)^{2}}\Bigr|
avaliada em s=-1{,}5+j\,1{,}65. Calculando as magnitudes:
|s^{2}|=4{,}9725,\quad |s+10|=8{,}659,\quad |s+3|^{2}=4{,}9725
leva a
K=\frac{4{,}9725\times 8{,}659}{4{,}9725}\approx8{,}67.

Resposta

K = 8{,}67 e as raízes dominantes são
s = -1{,}5 \pm j\,1{,}65.

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