Considere um sistema em malha fechada cuja função de transferência em malha aberta é:
llustre o gráfico do lugar das raízes. Especificamente, neste gráfico, o lugar das raízes cruza as assíntotas.
Passo 1
O enunciado pede que tracemos o lugar das raízes (root locus) da malha fechada cujo laço aberto é
e, em particular, que identifiquemos onde o lugar das raízes “cruza” as assíntotas. Para isso vamos usar as regras de lugar das raízes: identificação de polos e zeros, determinação do número de assíntotas, cálculo do centroide e dos ângulos das assíntotas.
Passo 2
Identificamos os polos e zeros de
. Não há zeros finitos e os polos são
Logo o número de polos é
e o número de zeros finitos é
.
Passo 3
No eixo real, um ponto pertence ao lugar das raízes se houver um número ímpar de polos e zeros à sua direita. Verifica‐se que o único segmento real onde isso ocorre é entre
e
, daí uma porção do lugar das raízes ficará nesse intervalo antes de quebrar‐se em ramos complexos.
Passo 4
Como
, teremos quatro assíntotas. O centroide
delas é dado por
Os ângulos das assíntotas são
isto é
Passo 5
Todas as assíntotas passam pelo centroide
. No diagrama do lugar das raízes, os ramos que vão para o infinito seguem essas retas que se cruzam em
no eixo real. Portanto, o lugar das raízes “cruza” (intersecciona) as assíntotas exatamente no ponto
Resposta
O lugar das raízes cruza as assíntotas no ponto
(centroide).