Considere um sistema em malha fechada cuja função de transferência em malha aberta é:
G(S) H(S)=\frac{K}{s(s+1)\left(s^{2}+4 s+13\right)}
llustre o gráfico do lugar das raízes. Especificamente, neste gráfico, o lugar das raízes cruza as assíntotas.

Passo 1

O enunciado pede que tracemos o lugar das raízes (root locus) da malha fechada cujo laço aberto é
G(s)H(s)=\frac{K}{s\,(s+1)\,(s^2+4s+13)},
e, em particular, que identifiquemos onde o lugar das raízes “cruza” as assíntotas. Para isso vamos usar as regras de lugar das raízes: identificação de polos e zeros, determinação do número de assíntotas, cálculo do centroide e dos ângulos das assíntotas.

Passo 2

Identificamos os polos e zeros de G(s)H(s). Não há zeros finitos e os polos são
s_1=0,\quad s_2=-1,\quad s_{3,4}=-2\pm3j.
Logo o número de polos é n=4 e o número de zeros finitos é m=0.

Passo 3

No eixo real, um ponto pertence ao lugar das raízes se houver um número ímpar de polos e zeros à sua direita. Verifica‐se que o único segmento real onde isso ocorre é entre s=-1 e s=0, daí uma porção do lugar das raízes ficará nesse intervalo antes de quebrar‐se em ramos complexos.

Passo 4

Como n-m=4, teremos quatro assíntotas. O centroide \sigma_a delas é dado por
\sigma_a = \frac{\sum_{\text{polos}} - \sum_{\text{zeros}}}{n - m} = \frac{(0) + (-1) + (-2+3j) + (-2-3j)}{4} = -\frac{5}{4} = -1{,}25.
Os ângulos das assíntotas são
\phi_k = \frac{(2k+1)\,180^\circ}{n-m} \quad k=0,1,2,3,
isto é
\phi_0=45^\circ,\quad \phi_1=135^\circ,\quad \phi_2=225^\circ,\quad \phi_3=315^\circ.

Passo 5

Todas as assíntotas passam pelo centroide \sigma_a=-1{,}25. No diagrama do lugar das raízes, os ramos que vão para o infinito seguem essas retas que se cruzam em -1{,}25 no eixo real. Portanto, o lugar das raízes “cruza” (intersecciona) as assíntotas exatamente no ponto
s=-1{,}25 + j\,0.

Resposta

O lugar das raízes cruza as assíntotas no ponto s=-1{,}25 (centroide).

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