Um gravador de fita com um sistema de controle de velocidade em realimentação unitária tem a função de transferência de malha
L(s)=G(s) H(s)=\frac{K}{s(s+1)\left(s^{2}+10 s+24\right)} .
(a) Esboce o lugar das raízes para K e mostre que as raízes dominantes são s=-0,41 \pm j 0,384 quando K=8.
(b) Para as raízes dominantes do item (a), calcule o tempo de acomodação e o sobressinal para uma entrada em degrau.

Passo 1

O enunciado trata do lugar das raízes (root locus) de um sistema em realimentação unitária cuja função de malha é
L(s)=G(s)H(s)=\frac{K}{s\,(s+1)\,(s^{2}+10s+24)}.
No item (a) vamos esboçar qualitativamente esse locus e mostrar que, para K=8, duas raízes complexas dominantes ficam em
s=-0{,}41\pm j\,0{,}384.
No item (b) usaremos esse par dominante como se fosse um sistema de segunda ordem aproximado para calcular o tempo de acomodação e o sobressinal a um degrau.

Passo 2

A equação característica do sistema em malha fechada é
1+L(s)=0 \quad\Longrightarrow\quad s\,(s+1)\,(s^{2}+10s+24)+K=0.
Expansão em potências de s
s^{4}+11s^{3}+34s^{2}+24s+K=0.

Passo 3

No eixo real temos quatro polos em s=0,\,-1,\,-4,\,-6 e nenhum zero. Pelas regras do locus de raízes:
  • Há ramo real entre -6 e -4 (três polos à direita → ímpar);
  • Há ramo real entre -1 e 0 (um polo à direita → ímpar);
  • Os dois ramos restantes partem de polos reais e se juntam para irem ao plano complexo, com centro de polos assintótico em
\sigma_{\infty}=-\frac{0+(-1)+(-4)+(-6)}{4}=-2{,}75
e ângulos de assimptotas \pm 90^\circ.

Passo 4

Para K=8 a característica é
s^{4}+11s^{3}+34s^{2}+24s+8=0.
Para encontrar numericamente as raízes, dividimos esse polinômio pelo fator aproximado
s^{2}+0{,}82s+0{,}316
correspondente ao par s+0{,}41\pm j0{,}384. A divisão dá quociente
s^{2}+10{,}18s+25{,}334
cujo discriminante é positivo. Assim, as quatro raízes são aproximadamente
s=-0{,}41\pm j0{,}384, \quad s\approx-4{,}33, \quad s\approx-5{,}85.
Logo, as dominantes (mais lentas) são de fato
s=-0{,}41\pm j0{,}384.

Passo 5

Para o par \displaystyle s_{1,2}=-0{,}41\pm j0{,}384 calculamos
\omega_n=\sqrt{(-0{,}41)^{2}+(0{,}384)^{2}}\approx0{,}562, \qquad \zeta=\frac{0{,}41}{\omega_n}\approx0{,}73.

Passo 6

Como em sistemas de segunda ordem aproximados temos
T_s\approx\frac{4}{\zeta\,\omega_n} \quad\text{e}\quad M_p=\exp\Bigl(-\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}\Bigr)\times100\% ,
substituindo \zeta e \omega_n obtemos
T_s\approx\frac{4}{0{,}73\cdot0{,}562}\approx9{,}8\\ \text{s},
M_p\approx\exp\Bigl(-\frac{0{,}73\pi}{\sqrt{1-0{,}73^2}}\Bigr)\times100\%\approx3{,}5\%.

Resposta

Tempo de acomodação (2%) T_s\approx9{,}8\\ \text{s}.
Sobressinal M_p\approx3{,}5\%.

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