Um gravador de fita com um sistema de controle de velocidade em realimentação unitária tem a função de transferência de malha
(a) Esboce o lugar das raízes para
e mostre que as raízes dominantes são
quando
.
(b) Para as raízes dominantes do item (a), calcule o tempo de acomodação e o sobressinal para uma entrada em degrau.
(b) Para as raízes dominantes do item (a), calcule o tempo de acomodação e o sobressinal para uma entrada em degrau.
Passo 1
O enunciado trata do lugar das raízes (root locus) de um sistema em realimentação unitária cuja função de malha é
No item (a) vamos esboçar qualitativamente esse locus e mostrar que, para
, duas raízes complexas dominantes ficam em
No item (b) usaremos esse par dominante como se fosse um sistema de segunda ordem aproximado para calcular o tempo de acomodação e o sobressinal a um degrau.
Passo 2
A equação característica do sistema em malha fechada é
Expansão em potências de
dá
Passo 3
No eixo real temos quatro polos em
e nenhum zero. Pelas regras do locus de raízes:
- Há ramo real entre
e (três polos à direita → ímpar); - Há ramo real entre
e (um polo à direita → ímpar); - Os dois ramos restantes partem de polos reais e se juntam para irem ao plano complexo, com centro de polos assintótico em
e ângulos de assimptotas
.
Passo 4
Para
a característica é
Para encontrar numericamente as raízes, dividimos esse polinômio pelo fator aproximado
correspondente ao par
. A divisão dá quociente
cujo discriminante é positivo. Assim, as quatro raízes são aproximadamente
Logo, as dominantes (mais lentas) são de fato
Passo 5
Para o par
calculamos
Passo 6
Como em sistemas de segunda ordem aproximados temos
substituindo
e
obtemos
Resposta
Tempo de acomodação (2%)
.
Sobressinal .
Sobressinal